1. На рисунке каждый из отрезков АВ и CD точкой О делится пополам. Докажите, что угол DAO равен углу СВО. 2. Луч AD – биссектриса угла А. На сторонах угла А отмечены точки В и С так, что ∠ADB = ∠ADC. Докажите, что АB = AC. 3. Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием Вс. С помощью циркуля и линейки проведите медиану ВВ₁ к боковой стороне АС. 4. Отрезки MN и PQ – диаметры окружности. Докажите, что хорды MQ и PN равны.

Решение задач по геометрии: 1. Дано: AO = OB, CO = OD. Доказать: ∠DAO = ∠CBO. Доказательство: Рассмотрим треугольники DAO и CBO. У них AO = OB, CO = OD (по условию). ∠AOD = ∠BOC как вертикальные углы. Следовательно, треугольники DAO и CBO равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть ∠DAO = ∠CBO. Что и требовалось доказать. 2. Дано: AD – биссектриса ∠A, ∠ADB = ∠ADC. Доказать: AB = AC. Доказательство: Рассмотрим треугольники ADB и ADC. У них AD – общая сторона, ∠ADB = ∠ADC (по условию), ∠BAD = ∠CAD (так как AD – биссектриса ∠A). Следовательно, треугольники ADB и ADC равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть AB = AC. Что и требовалось доказать. 3. Построение: 1. Строим равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. 2. Проводим медиану BB₁ к боковой стороне AC. Для этого находим середину стороны AC (точку B₁). 3. Соединяем точки B и B₁ прямой линией. BB₁ – медиана. 4. Дано: MN и PQ - диаметры окружности. Доказать: MQ = PN. Доказательство: Рассмотрим углы ∠MON и ∠POQ. Они равны, как вертикальные. Следовательно, дуги MN и PQ, на которые они опираются, тоже равны. Равные дуги стягиваются равными хордами, то есть MQ = PN. Что и требовалось доказать.