На рисунке изображён четырёхугольник ABCD с диагональю AC: AB = 4, ∠BAC = ∠BCA = 40°, ∠CAD = ∠ACD = 30°. Требуется определить искомую величину; текст команды на изображении обрезан.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Рассмотрим треугольник ABC. Так как \(\angle BAC=\angle BCA=40^\circ\), то он равнобедренный:

\(AB=BC=4\).

Тогда \(\angle ABC=180^\circ-40^\circ-40^\circ=100^\circ\).

По теореме синусов:

\[\frac{AC}{\sin100^\circ}=\frac{AB}{\sin40^\circ},\qquad AC=\frac{4\sin100^\circ}{\sin40^\circ}=8\cos40^\circ.\]

В треугольнике ACD углы при A и C равны по \(30^\circ\), поэтому \(AD=CD\), а угол \(ADC\) равен \(120^\circ\). Снова по теореме синусов:

\[\frac{AD}{\sin30^\circ}=\frac{AC}{\sin120^\circ}.\]

Следовательно,

\[AD=\frac{AC\sin30^\circ}{\sin120^\circ}=\frac{AC}{\sqrt3}=\frac{8\cos40^\circ}{\sqrt3}.\]

Поэтому периметр четырёхугольника равен

\[P=AB+BC+CD+DA=8+2\cdot\frac{8\cos40^\circ}{\sqrt3}.\]

Ответ: \(P=8+\frac{16\cos40^\circ}{\sqrt3}\approx15.07\).