На рисунке изображена система грузов массами m₁ = 3 кг и m₂ = 1 кг, связанных невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Угол наклона плоскости к горизонту α = 30°, коэффициент трения между грузом m₁ и наклонной плоскостью 0,1. Определите силу натяжения нити.

Решение:

Для решения задачи применим второй закон Ньютона к каждому грузу.

Дано:

• \( m_1 = 3 \text{ кг} \)
• \( m_2 = 1 \text{ кг} \)
• \( \alpha = 30^{\circ} \)
• \( \mu = 0.1 \)
• \( g \approx 9.8 \text{ м/с}^2 \)

Найти:

• \( T \text{ (сила натяжения нити)} \)

1. Силы, действующие на груз m₂:

Сила тяжести \( F_{T2} = m_2 g \) направлена вниз. Сила натяжения нити \( T \) направлена вверх. Так как грузы связаны, они движутся с одинаковым ускорением \( a \).

Уравнение движения для \( m_2 \): \( m_2 g - T = m_2 a \) (1)

2. Силы, действующие на груз m₁:

• Сила тяжести \( F_{T1} = m_1 g \), направлена вертикально вниз.
• Сила нормальной реакции опоры \( N \), перпендикулярна наклонной плоскости.
• Сила трения \( F_{tr} \), направлена против движения (вверх по плоскости, если \( m_2 \) движется вниз).
• Сила натяжения нити \( T \), направлена вдоль наклонной плоскости вверх.

Разложим силу тяжести \( m_1 g \) на компоненты: \( m_1 g \sin{\alpha} \) (параллельно плоскости, вниз) и \( m_1 g \cos{\alpha} \) (перпендикулярно плоскости, к опоре).

Сила нормальной реакции опоры равна: \( N = m_1 g \cos{\alpha} \).

Сила трения скольжения: \( F_{tr} = \mu N = \mu m_1 g \cos{\alpha} \).

Уравнение движения для \( m_1 \) вдоль наклонной плоскости:

Если \( m_2 \) движется вниз, то \( m_1 \) движется вверх по плоскости. Тогда:

\( T - m_1 g \sin{\alpha} - F_{tr} = m_1 a \)

\( T - m_1 g \sin{\alpha} - \mu m_1 g \cos{\alpha} = m_1 a \) (2)

3. Решение системы уравнений:

Из уравнения (1) выразим \( a \): \( a = \frac{m_2 g - T}{m_2} \).

Подставим \( a \) в уравнение (2):

\( T - m_1 g \sin{\alpha} - \mu m_1 g \cos{\alpha} = m_1 \left( \frac{m_2 g - T}{m_2} \right) \)

\( T m_2 - m_1 m_2 g \sin{\alpha} - \mu m_1 m_2 g \cos{\alpha} = m_1 (m_2 g - T) \)

\( T m_2 - m_1 m_2 g \sin{\alpha} - \mu m_1 m_2 g \cos{\alpha} = m_1 m_2 g - m_1 T \)

Соберём члены с \( T \) в одной стороне:

\( T m_2 + m_1 T = m_1 m_2 g + m_1 m_2 g \sin{\alpha} + \mu m_1 m_2 g \cos{\alpha} \)

\( T (m_1 + m_2) = m_1 m_2 g (1 + \sin{\alpha} + \mu \cos{\alpha}) \)

\( T = \frac{m_1 m_2 g (1 + \sin{\alpha} + \mu \cos{\alpha})}{m_1 + m_2} \) (Это ошибка в выводе, проверю вывод)

Перепроверим вывод, предполагая, что m₂ падает вниз, а m₁ движется вверх по наклонной плоскости.

Уравнения:

(1) \( m_2 g - T = m_2 a \)

(2) \( T - m_1 g \sin{\alpha} - \mu N = m_1 a \)

где \( N = m_1 g \cos{\alpha} \).

(2) \( T - m_1 g \sin{\alpha} - \mu m_1 g \cos{\alpha} = m_1 a \)

Из (1): \( a = \frac{m_2 g - T}{m_2} \).

Подставляем в (2):

\( T - m_1 g \sin{\alpha} - \mu m_1 g \cos{\alpha} = m_1 \left( \frac{m_2 g - T}{m_2} \right) \)

\( T m_2 - m_1 m_2 g \sin{\alpha} - \mu m_1 m_2 g \cos{\alpha} = m_1 m_2 g - m_1 T \)

\( T m_2 + m_1 T = m_1 m_2 g + m_1 m_2 g \sin{\alpha} + \mu m_1 m_2 g \cos{\alpha} \)

\( T (m_1 + m_2) = m_1 m_2 g (1 + \sin{\alpha} + \mu \cos{\alpha}) \)

\( T = \frac{m_1 m_2 g (1 + \sin{\alpha} + \mu \cos{\alpha})}{m_1 + m_2} \) (Опять та же ошибка. Проверим направление сил и ускорения.)

Рассмотрим направление движения.

Вес \( m_2 \) вниз: \( m_2 g \approx 1 9.8 = 9.8 \) Н.

Составляющая веса \( m_1 \) вдоль наклонной плоскости вниз: \( m_1 g \sin{\alpha} = 3 9.8 \sin{30^{\circ}} = 3 9.8 0.5 = 14.7 \) Н.

Так как \( m_1 g \sin{\alpha} > m_2 g \), то груз \( m_1 \) будет стремиться скатиться вниз по наклонной плоскости, а \( m_2 \) будет подниматься вверх.

Перепишем уравнения с учетом правильного направления движения:

Для \( m_2 \) (движение вверх): \( T - m_2 g = m_2 a \) (1)

Для \( m_1 \) (движение вниз по плоскости): \( m_1 g \sin{\alpha} - T - F_{tr} = m_1 a \) (2)

Сила трения \( F_{tr} = \mu N = \mu m_1 g \cos{\alpha} \).

\( N = m_1 g \cos{\alpha} = 3 9.8 \cos{30^{\circ}} = 3 9.8 \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 3 9.8 0.866 \approx 25.46 \) Н.

\( F_{tr} = 0.1 25.46 \approx 2.55 \) Н.

Из (1): \( T = m_2 g + m_2 a \).

Подставим \( T \) в (2):

\( m_1 g \sin{\alpha} - (m_2 g + m_2 a) - F_{tr} = m_1 a \)

\( m_1 g \sin{\alpha} - m_2 g - F_{tr} = m_1 a + m_2 a \)

\( m_1 g \sin{\alpha} - m_2 g - F_{tr} = a (m_1 + m_2) \)

\( a = \frac{m_1 g \sin{\alpha} - m_2 g - F_{tr}}{m_1 + m_2} \)

Подставим значения:

\( a = \frac{14.7 - 9.8 - 2.55}{3 + 1} = \frac{2.35}{4} = 0.5875 \text{ м/с}^2 \).

Теперь найдём \( T \) из уравнения (1):

\( T = m_2 g + m_2 a = 1 9.8 + 1 0.5875 = 9.8 + 0.5875 = 10.3875 \text{ Н} \).

Проверим, если m₁ будет двигаться вниз, а m₂ вверх.

Тогда силы для m₂: \( T - m_2 g = m_2 a \) (1) (ошибка, m₂ поднимается, значит T > m₂g)

Правильное направление:

Вес \( m_1 \) вдоль плоскости вниз: \( F_{1\parallel} = m_1 g \sin{\alpha} = 3 9.8 0.5 = 14.7 \) Н.

Вес \( m_2 \) вниз: \( F_{2\parallel} = m_2 g = 1 9.8 = 9.8 \) Н.

Так как \( F_{1\parallel} > F_{2\parallel} \), то система будет двигаться таким образом, что \( m_1 \) будет двигаться вниз по наклонной плоскости, а \( m_2 \) будет подниматься вверх.

Уравнения движения:

Для \( m_1 \) (движение вниз): \( m_1 g \sin{\alpha} - T - F_{tr} = m_1 a \) (1)

Для \( m_2 \) (движение вверх): \( T - m_2 g = m_2 a \) (2)

Сила трения \( F_{tr} = \mu N = \mu m_1 g \cos{\alpha} = 0.1 3 9.8 \cos{30^{\circ}} \approx 0.1 3 9.8 0.866 \approx 2.55 \) Н.

Из (2): \( T = m_2 g + m_2 a \).

Подставляем в (1):

\( m_1 g \sin{\alpha} - (m_2 g + m_2 a) - F_{tr} = m_1 a \)

\( m_1 g \sin{\alpha} - m_2 g - F_{tr} = m_1 a + m_2 a \)

\( a = \frac{m_1 g \sin{\alpha} - m_2 g - F_{tr}}{m_1 + m_2} \)

\( a = \frac{14.7 - 9.8 - 2.55}{3 + 1} = \frac{2.35}{4} = 0.5875 \text{ м/с}^2 \).

Теперь находим \( T \) из (2):

\( T = m_2 g + m_2 a = 1 9.8 + 1 0.5875 = 9.8 + 0.5875 = 10.3875 \text{ Н} \).

Округлим до двух знаков после запятой.

Ответ: Сила натяжения нити составляет приблизительно 10.39 Н.