На рисунке изображен график функции y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-11; 6). В какой точке отрезка [-2; 4] функция f(x) принимает наименьшее значение?

Решение:

Чтобы найти точку, в которой функция \( f(x) \) принимает наименьшее значение на отрезке \( [-2; 4] \), нам нужно проанализировать график её производной \( f'(x) \). Наименьшее значение \( f(x) \) будет достигаться там, где \( f'(x) \) меняет знак с минуса на плюс, или на концах отрезка, если производная не меняет знак.

На отрезке \( [-2; 4] \) ищем точку, где \( f'(x) \) минимальна.

Анализируем график \( y = f'(x) \) на отрезке \( [-2; 4] \):

• При \( x = -2 \), \( f'(x) \) находится около 0.
• От \( x = -2 \) до \( x \approx -0.5 \), \( f'(x) \) отрицательна и убывает, достигая минимума.
• От \( x \approx -0.5 \) до \( x \approx 0.8 \), \( f'(x) \) положительна и возрастает.
• От \( x \approx 0.8 \) до \( x \approx 2.5 \), \( f'(x) \) отрицательна и убывает, достигая минимума.
• От \( x \approx 2.5 \) до \( x = 4 \), \( f'(x) \) положительна и возрастает.

Функция \( f(x) \) убывает, когда \( f'(x) < 0 \), и возрастает, когда \( f'(x) > 0 \).

На отрезке \( [-2; 4] \):

• \( f'(x) < 0 \) на \( [-2; -0.5] \) (приблизительно), значит \( f(x) \) убывает.
• \( f'(x) > 0 \) на \( [-0.5; 0.8] \) (приблизительно), значит \( f(x) \) возрастает.
• \( f'(x) < 0 \) на \( [0.8; 2.5] \) (приблизительно), значит \( f(x) \) убывает.
• \( f'(x) > 0 \) на \( [2.5; 4] \) (приблизительно), значит \( f(x) \) возрастает.

Критические точки, где \( f'(x) = 0 \) или не существует, находятся примерно при \( x = -0.5 \), \( x = 0.8 \), \( x = 2.5 \).

Для нахождения наименьшего значения \( f(x) \) на отрезке \( [-2; 4] \) нужно сравнить значения \( f(x) \) в критических точках внутри отрезка и на его концах.

Рассмотрим точки, где \( f'(x) \) меняет знак с минуса на плюс (локальные минимумы \( f(x) \)) или с плюса на минус (локальные максимумы \( f(x) \)).

Наименьшее значение \( f(x) \) на отрезке \( [-2; 4] \) будет в точке, где \( f'(x) \) переходит из отрицательной области в положительную (локальный минимум) или на концах отрезка.

На отрезке \( [-2; 4] \) у нас есть два участка убывания \( f(x) \) (где \( f'(x) < 0 \)): \( [-2; -0.5] \) и \( [0.8; 2.5] \).

Локальный минимум \( f(x) \) находится примерно при \( x = -0.5 \) (где \( f'(x) \) переходит из '-' в '+').

Локальный минимум \( f(x) \) находится примерно при \( x = 2.5 \) (где \( f'(x) \) переходит из '-' в '+').

Сравнивая значения \( f(x) \) в точках \( x = -2 \), \( x = -0.5 \), \( x = 2.5 \), \( x = 4 \) и учитывая интервалы возрастания/убывания:

• На интервале \( [-2; -0.5] \), \( f(x) \) убывает.
• На интервале \( [-0.5; 0.8] \), \( f(x) \) возрастает.
• На интервале \( [0.8; 2.5] \), \( f(x) \) убывает.
• На интервале \( [2.5; 4] \), \( f(x) \) возрастает.

Наименьшее значение \( f(x) \) достигается либо в точке \( x \approx -0.5 \) (первый локальный минимум), либо в точке \( x \approx 2.5 \) (второй локальный минимум).

Смотрим на график \( f'(x) \) более внимательно на отрезке \( [-2; 4] \).

В районе \( x = -0.5 \), \( f'(x) \) достигает некоторого отрицательного значения. В районе \( x = 2.5 \), \( f'(x) \) достигает более низкого (более отрицательного) значения.

Это означает, что на интервале \( [0.8; 2.5] \) функция \( f(x) \) убывала более интенсивно, чем на интервале \( [-2; -0.5] \).

Следовательно, наименьшее значение \( f(x) \) на отрезке \( [-2; 4] \) будет в точке \( x \approx 2.5 \).

Если более точно посмотреть на график, то самая нижняя точка на графике \( f'(x) \) на отрезке \( [-2; 4] \) находится примерно при \( x = 2.5 \). Эта точка соответствует локальному минимуму функции \( f(x) \). Так как после этой точки \( f'(x) \) становится положительной, \( f(x) \) начинает возрастать, и мы достигли наименьшего значения \( f(x) \) на данном отрезке.

Ответ: Приблизительно при x = 2.5.