На рисунке BM - биссектриса угла ABN. а) Найдите ∠ABM, если он на 15° больше угла NBC. б) Постройте угол CBK, вертикальный с углом ABN, и найдите его градусную меру. в) Найдите градусную меру угла MBK.

Решение:

Дано: BM - биссектриса ∠ABN.

а) Найдём ∠ABM:

По определению биссектрисы, ∠ABM = ∠NBM.

По условию, ∠ABM = ∠NBC + 15°.

Так как ∠ABN = ∠ABM + ∠NBC, и ∠ABM = ∠NBM, то ∠ABN = 2 * ∠ABM.

Также, ∠ABN = ∠ABM + ∠NBC. Заменяем ∠ABM на ∠NBC + 15°:

∠ABN = (∠NBC + 15°) + ∠NBC = 2 * ∠NBC + 15°.

Мы имеем систему уравнений:

1) ∠ABM = ∠NBM

2) ∠ABM = ∠NBC + 15°

3) ∠ABN = 2 * ∠ABM

4) ∠ABN = ∠ABM + ∠NBC

Из (2) и (4) следует:

∠ABM = ∠NBC + 15°

∠NBC = ∠ABM - 15°

Подставляем в (4):

∠ABN = ∠ABM + (∠ABM - 15°) = 2 * ∠ABM - 15°.

Сравниваем с (3):

2 * ∠ABM = 2 * ∠ABM - 15°.

Это не может быть верно. Пересмотрим условие.

Пересмотр условия:

Пусть ∠NBC = x.

Тогда ∠ABM = x + 15°.

Поскольку BM - биссектриса ∠ABN, то ∠ABM = ∠NBM. Следовательно, ∠NBM = x + 15°.

∠ABN = ∠ABM + ∠NBM = (x + 15°) + (x + 15°) = 2x + 30°.

На рисунке видно, что AC - прямая, значит ∠ABC = 180°.

∠ABC = ∠ABN + ∠NBC = (2x + 30°) + x = 3x + 30° = 180°.

3x = 180° - 30° = 150°.

x = 150° / 3 = 50°.

∠NBC = 50°.

∠ABM = x + 15° = 50° + 15° = 65°.

Проверка: ∠NBM = 65°. ∠ABN = 65° + 65° = 130°. ∠ABC = 130° + 50° = 180°.

Ответ а) ∠ABM = 65°.

б) Построим угол CBK, вертикальный с углом ABN:

Вертикальные углы равны. Угол CBK является вертикальным к углу ABN.

∠CBK = ∠ABN.

Мы нашли, что ∠ABN = 130°.

Ответ б) ∠CBK = 130°.

в) Найдём градусную меру угла MBK:

Угол MBK является смежным с углом NBM, так как угол ABC - развёрнутый (180°).

∠ABC = ∠ABM + ∠MBC = 180°.

∠ABM = 65°.

∠MBC = 180° - ∠ABM = 180° - 65° = 115°.

Рассмотрим угол MBK. ∠MBK = ∠MBC - ∠KBC.

∠MBK = 115° - 130° = -15°. Это неверно. Значит, угол KBC включает в себя угол ABM.

Рассмотрим угол CBK. Он равен 130°.

Угол ABC = 180°.

∠KBC = ∠KBA + ∠ABC = 180° (если K лежит на прямой AC).

Угол CBK = 130°.

Угол ABC = 180°.

Угол ABM = 65°.

Угол MBC = 180° - 65° = 115°.

Угол CBK = 130°.

Угол MBK = ∠CBK - ∠CBM (или ∠ABM - ∠ABK, но ∠ABK не известен).

Так как CBK = 130°, а MBC = 115°, то M находится внутри угла CBK.

∠MBK = ∠CBK - ∠CBM = 130° - 115° = 15°.

Ответ в) ∠MBK = 15°.