На рисунке AD = DC = BD, ∠BCD = 42°. Найти ∠ABC.

Так как точки A, D и C лежат на одной прямой, лучи DA и DC — противоположные.

1. В треугольнике BDC:
   BD = DC, значит, он равнобедренный, поэтому
   \(\angle DBC = \angle BCD = 42^\circ\).
2. Смежные углы при точке D в сумме дают \(180^\circ\):
   \(\angle BDA = 180^\circ - \angle BDC\).
3. В треугольнике BDC:
   \(\angle BDC = 180^\circ - 42^\circ - 42^\circ = 96^\circ\).
   Следовательно,
   \(\angle BDA = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ\).
4. В треугольнике ABD: AD = BD, поэтому \(\angle BAD = \angle ABD\).
   \(\angle ABD = \dfrac{180^\circ - 84^\circ}{2} = 48^\circ\).
5. Искомый угол состоит из двух углов:
   \(\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 48^\circ + 42^\circ = 90^\circ\).

Ответ: \(\angle ABC = 90^\circ\).