На рисунке 82 AB = CD, AD = BC; BE — биссектриса угла ABC, а DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что б) △ABE = △CDF.

Сначала установим необходимые равенства углов.

1. Рассмотрим треугольники ABC и CDA. По условию AB = CD и BC = DA, а сторона AC у них общая. Значит, △ABC = △CDA по трём сторонам.

2. Из равенства этих треугольников следует, что ∠ABC = ∠CDA и ∠BAC = ∠DCA.

3. Так как BE и DF — биссектрисы, ∠ABE = ½∠ABC, а ∠CDF = ½∠CDA. Поэтому ∠ABE = ∠CDF.

4. Точки E и F лежат на AC, поэтому ∠BAE = ∠BAC, а ∠DCF = ∠DCA. Следовательно, ∠BAE = ∠DCF.

5. По условию AB = CD. Итак, в треугольниках ABE и CDF равны сторона AB и CD и прилежащие к ним углы: ∠BAE = ∠DCF, ∠ABE = ∠CDF. Следовательно, △ABE = △CDF по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ: △ABE = △CDF.