На рисунке 58 изображён прямоугольный параллелепипед KPMNFDBE, измерения которого различны. Укажите: 1) все рёбра параллелепипеда; 2) все грани параллелепипеда; 3) рёбра, равные ребру BE; 4) грани, которым принадлежит вершина М; 5) грани, для которых ребро KP является общим; 6) грань, равную грани KPMN. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 36 см, 25 см и 32 см. Найдите: 1) сумму длин всех его рёбер; 2) площадь поверхности параллелепипеда. Ребро куба равно 14 см. Найдите: 1) сумму длин всех рёбер куба; 2) площадь поверхности куба.

Решение:

1. Рёбра параллелепипеда:

Все рёбра параллелепипеда:

• Вертикальные: KP, MN, FE, DB


• Горизонтальные (основания): KM, PN, FN, ED, KF, ME, PD, NE

2. Грани параллелепипеда:

Все грани параллелепипеда (6 граней, каждая является прямоугольником):

• Нижнее основание: KPMN


• Верхнее основание: FDBE


• Боковые грани: KPFD, MNEB, KMFD, PNEB

3. Рёбра, равные ребру BE:

Рёбра, равные ребру BE (противоположные и параллельные рёбра равны):

• KP, MN, FD

4. Грани, которым принадлежит вершина М:

Грани, которым принадлежит вершина M:

• Нижнее основание: KPMN


• Боковые грани: MNEB, KMFD

5. Грани, для которых ребро KP является общим:

Грани, для которых ребро KP является общим:

• Нижнее основание: KPMN


• Боковая грань: KPFD

6. Грань, равная грани KPMN:

Грань, равная грани KPMN (верхнее основание параллелепипеда):

• FDBE

7. Расчёты для прямоугольного параллелепипеда:

Дано:

• Длины измерений: \( a = 36 \) см, \( b = 25 \) см, \( c = 32 \) см.

Найти:

• 1) Сумму длин всех рёбер.


• 2) Площадь поверхности.

Решение:

• 1) Сумма длин всех рёбер:

У прямоугольного параллелепипеда 12 рёбер: 4 длины, 4 ширины и 4 высоты.

\( P_{рёбер} = 4a + 4b + 4c = 4(a+b+c) \)

\( P_{рёбер} = 4(36 + 25 + 32) = 4(93) = 372 \) см

• 2) Площадь поверхности:

Площадь поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней.

\( S_{полн} = 2(ab + bc + ac) \)

\( S_{полн} = 2(36 \cdot 25 + 25 \cdot 32 + 36 \cdot 32) \)

\( S_{полн} = 2(900 + 800 + 1152) = 2(2852) = 5704 \) см²

8. Расчёты для куба:

Дано:

• Ребро куба: \( a = 14 \) см.

Найти:

• 1) Сумму длин всех рёбер.


• 2) Площадь поверхности.

Решение:

• 1) Сумма длин всех рёбер куба:

У куба 12 рёбер равной длины.

\( P_{рёбер} = 12a \)

\( P_{рёбер} = 12 \cdot 14 = 168 \) см

• 2) Площадь поверхности куба:

У куба 6 равных граней (квадратов).

\( S_{полн} = 6a^2 \)

\( S_{полн} = 6 \cdot 14^2 = 6 \cdot 196 = 1176 \) см²

Ответ: 1) Сумма длин всех рёбер параллелепипеда равна 372 см; 2) Площадь поверхности параллелепипеда равна 5704 см². Сумма длин всех рёбер куба равна 168 см; 2) Площадь поверхности куба равна 1176 см².