На рисунке 3 точка О – середина отрезков EF и HG. Докажите, что EG || FH.

Решение:

На рисунке 3 изображены два отрезка \( EF \) и \( HG \), пересекающиеся в точке \( O \). Точка \( O \) является серединой обоих отрезков.

По условию:

• \( O \) — середина \( EF \), значит, \( EO = OF \).
• \( O \) — середина \( HG \), значит, \( HO = OG \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle EOG \) и \( \triangle FOH \).

У нас есть:

• \( EO = OF \) (по условию)
• \( HO = OG \) (по условию)
• \( \angle EOG = \angle FOH \) (как вертикальные углы).

По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), \( \triangle EOG = \triangle FOH \).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

\( \angle OEG = \angle OFH \).

Углы \( \angle OEG \) и \( \angle OFH \) являются накрест лежащими при прямых \( EG \) и \( FH \) и секущей \( EF \).

Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямые \( EG \) и \( FH \) параллельны.

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle EOG \) и \( \triangle FOH \).
2. \( EO = OF \) и \( HO = OG \) (по условию, \( O \) — середина отрезков).
3. \( \angle EOG = \angle FOH \) (вертикальные углы).
4. По II признаку равенства треугольников, \( \triangle EOG = \triangle FOH \).
5. Из равенства треугольников следует, что \( \angle OEG = \angle OFH \).
6. \( \angle OEG \) и \( \angle OFH \) — накрест лежащие углы при прямых \( EG \) и \( FH \) и секущей \( EF \).
7. Так как накрест лежащие углы равны, то \( EG \) || \( FH \).

Следовательно, EG || FH.