На рисунке 280 точка О — центр окружности, ∠AOB = 40°. Найдите угол BOC. К окружности с центром О провели касательную (D — точка касания). Найдите радиус окружности, если CO = 16 см и ∠COD = 60°. В окружности с центром О провели диаметры MN и PK (рис. 281). Докажите, что MK || PN.

Решение:

1. Угол BOC:

   Дано: Окружность с центром O, ∠AOB = 40°.

   Найти: ∠BOC.

   Решение:

   Из рисунка 280 видно, что точки A, O, C лежат на одной прямой, то есть AC — диаметр.

   Углы ∠AOB и ∠BOC — смежные, их сумма равна 180°.

   \[ \angle BOC = 180° - \angle AOB \]

   \[ \angle BOC = 180° - 40° = 140° \]

   Ответ для первой части: 140°.

2. Нахождение радиуса:

   Дано: Окружность с центром O. Касательная в точке D. CO = 16 см. ∠COD = 60°.

   Найти: Радиус окружности (OD).

   Решение:

   OD — радиус, проведенный в точку касания D. Следовательно, OD ⊥ CD, то есть ∠ODC = 90°.

   Рассмотрим треугольник ODC. Он прямоугольный.

   CO — гипотенуза, OD и CD — катеты.

   \[ \cos(\angle COD) = \frac{OD}{CO} \]

   \[ \cos(60°) = \frac{OD}{16} \]

   \[ \frac{1}{2} = \frac{OD}{16} \]

   \[ OD = \frac{16}{2} = 8 \]

   Ответ для второй части: 8 см.

3. Доказательство MK || PN:

   Дано: Окружность с центром O. Диаметры MN и PK.

   Доказать: MK || PN.

   Решение:

   Так как MN и PK — диаметры, проходящие через центр O, то O является серединой каждого из них.

   Рассмотрим треугольники ΔMOK и ΔPON.

   • MO = NO (радиусы)
   • KO = PO (радиусы)
   • ∠MOK = ∠PON (вертикальные углы)

   Следовательно, ΔMOK = ΔPON по двум сторонам и углу между ними (СУС).

   Из равенства треугольников следует, что MK = PN.

   Теперь рассмотрим треугольники ΔMPK и ΔNKМ.

   • MP = NK (так как равны дуги MP и NK, которые равны 180° - дуга PK и 180° - дуга MN, а дуги PK и MN равны, т.к. являются диаметрами, опираются на 180°).
   • PK — общая сторона.
   • ∠MPK = ∠NKМ (вписанные углы, опирающиеся на дугу MK).

   Следовательно, ΔMPK = ΔNKМ по двум сторонам и углу между ними (СУС). Это не доказывает параллельность.

   Другой подход:

   Рассмотрим треугольники ΔMOP и ΔNOK.

   • MO = NO (радиусы)
   • PO = KO (радиусы)
   • ∠MOP = ∠NOK (вертикальные углы)

   Следовательно, ΔMOP = ΔNOK (СУС).

   Из равенства треугольников следует, что MP = NK.

   Аналогично, рассматривая ΔMON и ΔPOK, мы не получим необходимого.

   Рассмотрим четырехугольник MPNK.

   • Диагонали MN и PK пересекаются в точке O.
   • MO = NO (радиусы).
   • PO = KO (радиусы).

   Таким образом, точка O является серединой обеих диагоналей. Это свойство параллелограмма.

   Следовательно, четырехугольник MPNK — параллелограмм.

   В параллелограмме противоположные стороны параллельны.

   Следовательно, MK || PN.

   Доказано.