4. На рисунке 132 СМ — медиана треугольника АВС, СК - медиана треугольника АСМ. Найдите отношение площадей SACM SACM SACK SABC SBCK SBCK 5. На рисунке 133 точка М — середина стороны АВ, К - се- редина стороны CD выпуклого четырехугольника ABCD. Дока- 1 жите, что SMBKD=SABCD

Решение задания 4

На рисунке 132, поскольку CM - медиана треугольника ABC, то она делит треугольник ABC на два треугольника равной площади. Следовательно, площадь треугольника ACM равна половине площади треугольника ABC:

\[S_{ACM} = \frac{1}{2} S_{ABC}\]

Значит, отношение площадей SACM к SABC равно 1/2:

\[\frac{S_{ACM}}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}\]

Так как CK - медиана треугольника ACM, то она делит треугольник ACM на два треугольника равной площади. Следовательно, площадь треугольника ACK равна половине площади треугольника ACM:

\[S_{ACK} = \frac{1}{2} S_{ACM}\]

Таким образом, отношение площади треугольника ACK к площади треугольника ACM равно 1/2:

\[\frac{S_{ACK}}{S_{ACM}} = \frac{1}{2}\]

Так как площадь треугольника ACM равна половине площади треугольника ABC (SACM = 1/2 SABC), то площадь треугольника BCK равна половине площади треугольника ABC, так как CK - медиана треугольника ACM:

\[S_{BCK} = \frac{1}{2}S_{ABC}\]

Следовательно, отношение площадей SACM к SBCK равно 1:

\[\frac{S_{ACM}}{S_{BCK}} = 1\]

Решение задания 5

На рисунке 133, точка M - середина стороны AB, K - середина стороны CD выпуклого четырехугольника ABCD. Нужно доказать, что SMBKD = 1/2 SABCD.

Доказательство:

Площадь четырехугольника ABCD можно разделить на площади треугольников ABK и CDK и четырехугольника MBKD, как показано на рисунке.

Поскольку M - середина AB и K - середина CD, то площадь каждого из треугольников ABK и CDK равна половине площади четырехугольника ABCD.

Рассмотрим четырехугольник MBKD. Его площадь можно найти, вычитая из площади четырехугольника ABCD площади треугольников ABK и CDK:

\[S_{MBKD} = S_{ABCD} - S_{ABK} - S_{CDK}\]

Так как площади треугольников ABK и CDK равны половине площади четырехугольника ABCD, то:

\[S_{ABK} = \frac{1}{4} S_{ABCD}\] \[S_{CDK} = \frac{1}{4} S_{ABCD}\]

Тогда

\[S_{MBKD} = S_{ABCD} - \frac{1}{4} S_{ABCD} - \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}\]

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано