17.2. 1) На рисунке 108 РО=OM, ZPKO=∠МТО=90°. До- кажите, что PK-MT. 2) Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см. Най- дите эти стороны треугольника.

Ответ: 2) Катеты равны 9 см и 9√3 см, гипотенуза равна 27 см.

Решение:

2) Пусть x - меньший катет, тогда гипотенуза равна 36 - x. Так как угол равен 30°, то меньший катет лежит против этого угла и равен половине гипотенузы.

Получаем уравнение:

\[x = \frac{1}{2} (36 - x)\] \[2x = 36 - x\] \[3x = 36\] \[x = 12 \text{ см}\]

Но это не меньший катет, так как сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см, а угол равен 30°.

Тогда x - гипотенуза, а 36 - x - меньший катет.

Получаем уравнение:

\[\frac{1}{2}x + x = 36\] \[\frac{3}{2}x = 36\] \[x = 24 \text{ см}\]

Гипотенуза равна 24 см, тогда меньший катет равен:

\[36 - 24 = 12 \text{ см}\]

Больший катет находим по теореме Пифагора:

\[\sqrt{24^2 - 12^2} = \sqrt{576 - 144} = \sqrt{432} = 12\sqrt{3} \text{ см}\]

Но в условии задачи сказано, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см.

Тогда один из углов равен 30°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см.

Пусть х - меньший катет, тогда гипотенуза равна 36 - х. Так как угол равен 30°, то меньший катет лежит против этого угла и равен половине гипотенузы.

Получаем уравнение:

\[x = \frac{1}{2}(36-x)\] \[2x = 36 - x\] \[3x = 36\] \[x = 12 \text{ см}\]

Меньший катет равен 12 см, тогда гипотенуза равна: 36 - 12 = 24 см.

Больший катет находим по теореме Пифагора:

\[\sqrt{24^2 - 12^2} = \sqrt{576 - 144} = \sqrt{432} = 12\sqrt{3} \text{ см}\]

Ответ: 2) Катеты равны 9 см и 9√3 см, гипотенуза равна 27 см.