5. На рисунке 10 АЕ - биссектриса треугольника АВС, АД = ДЕ, АЕ = СЕ, ∠ACB = 37°. Найдите ∠BDE.

Рассмотрим треугольник АВС. АЕ - биссектриса, AD = DE, AE = CE, ∠ACB = 37°.

1. Так как AE = CE, треугольник ACE равнобедренный. Следовательно, ∠CAE = ∠ECA = 37°.
2. Поскольку AE - биссектриса угла А, ∠BAE = ∠CAE = 37°. Тогда ∠BAC = ∠BAE + ∠CAE = 37° + 37° = 74°.
3. В треугольнике ABC сумма углов равна 180°. Значит, ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠ACB = 180° - 74° - 37° = 69°.
4. Рассмотрим треугольник ADE. Так как AD = DE, треугольник ADE равнобедренный. Следовательно, ∠DAE = ∠DEA. ∠DAE = ∠CAE = 37°, значит ∠DEA = 37°.
5. ∠ADE - внешний угол треугольника CDE. ∠ADE = ∠DEC + ∠DCE. ∠ADE = 180 - ∠DAE - ∠AED = 180 - 37 - 37 = 106.
6. Рассмотрим треугольник CDE: ∠DEC + ∠DCE + ∠CDE = 180. Т.к. ∠AED = ∠DEC = 37, то ∠DEC = 37, ∠DCE = 37 (дано). ∠CDE = 180 - 37 - 37 = 106.
7. ∠BDE = ∠ADE - ∠ADB. ∠ADB = 180 - ∠DAE - ∠ABE. Т.к. треугольник ADE равнобедренный, ∠ADE = 180 - ∠DEA - ∠DAE = 180 - 37 - 37 = 106.
8. Т.к. AD=DE, то треугольник ADE равнобедренный, значит ∠DAE = ∠DEA = 37.
9. ∠BDE = 180 - ∠AED - ∠ABC = 180 - 37 - 69 = 74.

Ответ: ∠BDE = 74°.