На рисунке 311, а изображен квадрат, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки ($$a_4$$ — сторона квадрата, P — периметр квадрата, $$S_4$$ — его площадь, r — радиус вписанной окружности).

Давайте рассмотрим задачу и решим её по шагам. a) Квадрат, вписанный в окружность радиуса R 1. Связь между стороной квадрата $$a_4$$ и радиусом описанной окружности R: Диагональ квадрата равна диаметру описанной окружности. Диагональ квадрата можно выразить как $$d = a_4\sqrt{2}$$. Диаметр окружности равен $$2R$$. Следовательно: \[a_4\sqrt{2} = 2R\] Отсюда находим сторону квадрата: \[a_4 = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}\] 2. Периметр квадрата P: Периметр квадрата равен сумме длин всех его сторон: \[P = 4a_4 = 4R\sqrt{2}\] 3. Площадь квадрата $$S_4$$: Площадь квадрата равна квадрату его стороны: \[S_4 = a_4^2 = (R\sqrt{2})^2 = 2R^2\] 4. Радиус вписанной окружности r: Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине стороны квадрата: \[r = \frac{a_4}{2} = \frac{R\sqrt{2}}{2} = \frac{R}{\sqrt{2}}\] б) Треугольник, вписанный в окружность радиуса R 1. Связь между стороной треугольника $$a_3$$ и радиусом описанной окружности R: Для правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса R, существует связь: \[R = \frac{a_3}{\sqrt{3}}\] Отсюда находим сторону треугольника: \[a_3 = R\sqrt{3}\] 2. Радиус вписанной окружности r: Радиус вписанной в правильный треугольник окружности равен одной трети высоты треугольника или половине радиуса описанной окружности: \[r = \frac{1}{2}R\] Теперь мы можем составить таблицу со всеми полученными значениями. | Параметр | Квадрат (a) | Треугольник (б) | | ------------------ | ------------------- | ------------------- | | Сторона | $$R\sqrt{2}$$ | $$R\sqrt{3}$$ | | Периметр | $$4R\sqrt{2}$$ | $$3R\sqrt{3}$$ | | Площадь | $$2R^2$$ | $$\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$$| | Радиус вписанной | $$\frac{R}{\sqrt{2}}$$ | $$\frac{1}{2}R$$ | Надеюсь, это поможет вам разобраться в задаче!