131. На рисунке 53 ∠ABC = ∠DCB = 90°, АС = BD. Докажите, что АВ = CD. 132. На рисунке 54 ZABO = ∠DCO = 90°, ВО = СО. Найдите АВ, если CD = 8 см. 133. Из точки К, лежащей на биссектрисе угла АВС, проведены перпендикуляры КМ и КМ к его сторонам. Найдите ВМ, если BN = 6 см. 134. На рисунке 55 DA 1 EK, FB 1 EK, DA = FB, LADK = = ∠BFE. Докажите, что ∠DEK = ∠FKE.

Ответ: 131. Доказательство AB = CD; 132. AB = 8 см; 133. BM = 6 см; 134. Доказательство ∠DEK = ∠FKE.

131.

Дано: ∠ABC = ∠DCB = 90°, AC = BD (рисунок 53).

Доказать: AB = CD.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ABC и DCB:

• ∠ABC = ∠DCB = 90° (дано)
• AC = BD (дано)
• BC - общая сторона.

2. Следовательно, ΔABC = ΔDCB по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB = CD.

Что и требовалось доказать.

132.

Дано: ∠ABO = ∠DCO = 90°, BO = CO, CD = 8 см (рисунок 54).

Найти: AB.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники ABO и DCO:

• ∠ABO = ∠DCO = 90° (дано)
• BO = CO (дано)
• ∠AOB = ∠DOC (как вертикальные углы).

2. Следовательно, ΔABO = ΔDCO по катету и острому углу (по второму признаку равенства прямоугольных треугольников).
3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB = CD.
4. Так как CD = 8 см, то AB = 8 см.

Ответ: AB = 8 см.

133.

Дано: K лежит на биссектрисе угла ABC, KM ⊥ AB, KN ⊥ BC, BN = 6 см.

Найти: BM.

Решение:

1. Так как точка K лежит на биссектрисе угла ABC, то она равноудалена от сторон угла, то есть KM = KN.
2. Рассмотрим прямоугольные треугольники BMK и BNK:

• KM = KN (как расстояние от точки на биссектрисе до сторон угла)
• BK - общая гипотенуза.

3. Следовательно, ΔBMK = ΔBNK по гипотенузе и катету.
4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: BM = BN.
5. Так как BN = 6 см, то BM = 6 см.

Ответ: BM = 6 см.

134.

Дано: DA ⊥ EK, FB ⊥ EK, DA = FB, ∠ADK = ∠BFE (рисунок 55).

Доказать: ∠DEK = ∠FKE.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ADK и BFE:

• DA = FB (дано)
• ∠ADK = ∠BFE (дано)

2. Следовательно, ΔADK = ΔBFE по катету и противолежащему острому углу.
3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: DK = FE.
4. Рассмотрим треугольники DEK и FKE:

• DK = FE (доказано)
• DE = FK (так как DA ⊥ EK, FB ⊥ EK и DA = FB, то DEKF - прямоугольник)
• EK - общая сторона.

5. Следовательно, ΔDEK = ΔFKE по трем сторонам.
6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠DEK = ∠FKE.

Что и требовалось доказать.

Ответ: 131. Доказательство AB = CD; 132. AB = 8 см; 133. BM = 6 см; 134. Доказательство ∠DEK = ∠FKE.