3. На рисунке ∠DBC = ∠CAD, ВО = АО. Докажите, что ∠C = ∠D. Найдите АС, если BD = 12 см.

Докажем, что ∠C = ∠D.

1. Рассмотрим треугольники AOB.
2. По условию, BO = AO, значит, треугольник AOB - равнобедренный.
3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠OBA = ∠OAB.
4. По условию, ∠DBC = ∠CAD, то есть ∠OBC = ∠OAD.
5. Рассмотрим треугольники ABC и ABD.
6. ∠DBC = ∠CAD, AB - общая сторона, ∠ABC = ∠OBA + ∠OBC = ∠OAB + ∠OAD = ∠BAD.
7. Следовательно, треугольники ABC и ABD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).
8. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠C = ∠D.

Найдем AC, если BD = 12 см.

1. Из равенства треугольников ABC и ABD следует равенство соответствующих сторон: AC = BD.
2. По условию, BD = 12 см.
3. Следовательно, AC = 12 см.

Ответ: AC = 12 см