4. На рис. 159 CD = 18 см. Найдите AD.

Рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\). \(\angle B = 30^\circ\). Также дан угол \(\angle BDA = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ\) (как внешний угол треугольника \(\triangle BDC\)). Рассмотрим треугольник \(\triangle BDC\). \(\angle BCD = 30^\circ\) и \(CD = 18\). Так как \(\angle DBC = \angle BCD = 30^\circ\), то \(\triangle BDC\) – равнобедренный, и \(BD = CD = 18\). Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle ABD\). В этом треугольнике \(\angle ABD = 30^\circ\) и \(\angle BDA = 60^\circ\), следовательно, \(\angle BAD = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ\). Таким образом, \(\triangle ABD\) – прямоугольный с углом \(\angle ABD = 30^\circ\). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Следовательно, \(AD = \frac{1}{2} BD\). \(AD = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9\). Итак, \(AD = 9\).