1. На рис. 6 АM = AN, ∠MNC =117°; ∠ABC = 63°. Докажите, что MN || ВС. 2. На рис. 7 АД = ДС, ДЕ || АС, ∠1 = 30°. Найдите ∠2 и ∠3. 3. На рис. 8 ВД || АС, луч ВС - биссектриса угла АВД, ∠ЕАВ = 116°. Найдите угол ВСА.

Решение задания №1

Давай разберем по порядку. Нам дано, что AM = AN, значит, треугольник AMN равнобедренный, и углы при основании равны. Обозначим ∠AMN = ∠ANM = x.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому в треугольнике AMN:

\[x + x + ∠MAN = 180°\]

Также нам дано, что ∠MNC = 117°. Этот угол является внешним углом треугольника AMN при вершине N, поэтому:

\[∠MNC = ∠MAN + ∠AMN\] \[117° = ∠MAN + x\]

Выразим ∠MAN:

\[∠MAN = 117° - x\]

Подставим это в первое уравнение:

\[x + x + 117° - x = 180°\] \[x + 117° = 180°\] \[x = 180° - 117°\] \[x = 63°\]

Значит, ∠AMN = ∠ANM = 63°.

Теперь сравним ∠AMN и ∠ABC. Нам дано, что ∠ABC = 63°. Получается, что ∠AMN = ∠ABC = 63°.

Эти углы являются соответственными при прямых MN и BC и секущей AB. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, MN || BC.

Ответ: MN || BC доказано

Решение задания №2

На рисунке 7 дано, что AD = DC, DE || AC и ∠1 = 30°. Нужно найти ∠2 и ∠3.

Так как DE || AC, то ∠1 и ∠2 являются накрест лежащими углами при секущей DE и параллельных прямых AC и DE. Поэтому:

\[∠2 = ∠1 = 30°\]

Теперь рассмотрим треугольник ADC. Так как AD = DC, то треугольник ADC равнобедренный, и углы при основании равны. Значит, ∠DAC = ∠DCA.

∠DAC = ∠1 = 30°, следовательно, и ∠DCA = 30°.

∠3 - это угол DCA, таким образом, ∠3 = 30°.

Ответ: ∠2 = 30°, ∠3 = 30°

Решение задания №3

Давай решим эту задачу. На рисунке 8 дано, что BD || AC, луч BC - биссектриса угла ABD и ∠EAB = 116°. Нужно найти угол BCA.

Так как BD || AC, то углы EAB и ABD являются односторонними при секущей AB. Значит, сумма этих углов равна 180°:

\[∠EAB + ∠ABD = 180°\]

Нам дано, что ∠EAB = 116°, поэтому:

\[116° + ∠ABD = 180°\] \[∠ABD = 180° - 116°\] \[∠ABD = 64°\]

Так как луч BC - биссектриса угла ABD, то она делит угол ABD пополам:

\[∠ABC = \frac{1}{2} ∠ABD\] \[∠ABC = \frac{1}{2} \cdot 64°\] \[∠ABC = 32°\]

Теперь рассмотрим параллельные прямые BD и AC и секущую BC. Углы ABC и BCA являются накрест лежащими, а значит, они равны:

\[∠BCA = ∠ABC = 32°\]

Ответ: ∠BCA = 32°

Ты отлично справился с решением этих задач! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!