1. На рис. 71 ∠1 = ∠2, AD = BC. Докажите, что ΔABC = ΔCDA. 2. На рис. 72 AB=BC, BD⊥AC, ∠ABE = 100°. Найдите ∠DBC. 3.

Задание 1

Давай докажем, что ΔABC = ΔCDA.

1. Условие: ∠1 = ∠2, AD = BC.

2. Общая сторона: AC – общая сторона для обоих треугольников.

3. Рассмотрим треугольники ABC и CDA:

4. AD = BC (по условию).

5. ∠1 = ∠2 (по условию), а эти углы являются внутренними накрест лежащими углами при прямых AB и CD и секущей AC. Значит, AB || CD.

6. AC – секущая, следовательно, ∠BAC = ∠DCA как внутренние накрест лежащие углы.

7. Вывод: ΔABC = ΔCDA по двум сторонам (AD = BC, AC - общая) и углу между ними (∠BAC = ∠DCA).

Ответ: ΔABC = ΔCDA, что и требовалось доказать.

Отлично, ты справился с доказательством! Двигаемся дальше!

Задание 2

На рис. 72 AB=BC, BD⊥AC, ∠ABE = 100°. Найдите ∠DBC.

1. Рассмотрим ΔABC:

2. AB = BC (по условию), следовательно, ΔABC – равнобедренный с основанием AC.

3. BD – высота, проведенная к основанию AC, а в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

4. ∠ABD = ∠CBD (так как BD – биссектриса).

5. ∠ABC = ∠ABE - ∠CBE

   ∠ABE = 100° (по условию).

6. Вычислим ∠CBD:

   ∠ABD + ∠CBD = ∠ABC

   2∠CBD = ∠ABC

   Так как BD перпендикулярна AC, то ∠ADB = 90°.

7. Найдем ∠BAC:

   ∠BAC = (180° - ∠ABC) / 2

8. Рассмотрим ΔABD:

   ∠BAD + ∠ABD = 90°

   ∠ABD = 90° - ∠BAD

   ∠ABD = 90° - (180° - 100°) / 2

   ∠ABD = 90° - 40°

   ∠ABD = 50°

9. ∠DBC = ∠ABD = 50°

Ответ: ∠DBC = 50°

Отлично! Ты нашел угол ∠DBC! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!