На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E = 6EA. Точка T — середина ребра B₁C₁. Известно, что AB = 4√2, AD = 12, AA₁ = 14. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD₁.

Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(4\sqrt2,0,0)\), \(D(0,12,0)\), \(A_1(0,0,14)\).

1. Так как \(A_1E=6EA\), а \(AA_1=14\), то \(EA=2\), поэтому \(E(0,0,2)\).

2. Точка \(T\) — середина \(B_1C_1\), поэтому \(T(4\sqrt2,6,14)\), а \(D_1(0,12,14)\).

3. Плоскость сечения пересекает ребро \(BB_1\) в точке \(P\). Из уравнения плоскости или по пропорциям получаем \(BP=6\), поэтому \(P(4\sqrt2,0,8)\). Сечение — четырёхугольник \(EPTD_1\).

4. Разобьём его диагональю \(ET\) на два треугольника.

   \(\overrightarrow{EP}=(4\sqrt2,0,6)\), \(\overrightarrow{ET}=(4\sqrt2,6,12)\).

   \(S_{\triangle EPT}=\frac12\left|\overrightarrow{EP}\times\overrightarrow{ET}\right|=\frac12\sqrt{36^2+\left(24\sqrt2\right)^2+\left(24\sqrt2\right)^2}=30.\)

   \(\overrightarrow{ED_1}=(0,12,12)\).

   \(S_{\triangle ETD_1}=\frac12\left|\overrightarrow{ED_1}\times\overrightarrow{ET}\right|=\frac12\sqrt{72^2+\left(48\sqrt2\right)^2+\left(48\sqrt2\right)^2}=60.\)

5. Следовательно, площадь сечения:

   \(S_{EPTD_1}=30+60=90.\)

Ответ: 90