На прямой дороге расположены пункты A и B, расстояние между которыми 90 метров. Из них одновременно выходят два человека и идут в противоположные стороны, удаляясь друг от друга, с постоянными скоростями 1 м/с и 2 м/с соответственно. Курьеру нужно передать документы обоим людям. Курьер перемещается со скоростью 3 м/с, начинает движение одновременно с ними из некоторой точки между пунктами A и B. Какого наименьшего числа секунд ему гарантированно (то есть вне зависимости от точки старта курьера) хватит для того, чтобы последовательно догнать обоих и вручить им документы? Самому курьеру известно его точное местоположение и скорости всех троих, передача документов происходит мгновенно.

Обозначим через x расстояние от начальной точки курьера до пункта A. Тогда расстояние до пункта B равно 90 − x, где 0 ≤ x ≤ 90.

Рассмотрим стратегию: сначала курьер догоняет человека, вышедшего из пункта A, а затем — человека, вышедшего из пункта B.

1. Человек из A движется со скоростью 1 м/с, курьер — со скоростью 3 м/с. Их скорость сближения равна \(3-1=2\) м/с, поэтому до первого человека курьер доберётся за \(x/2\) секунд.

2. За это время человек из B удалится от B на \(2\cdot x/2=x\) метров, а курьер, двигаясь в сторону A, окажется на расстоянии \(x/2\) метров левее A. Поэтому расстояние между курьером и вторым человеком в этот момент равно \(90+x+x/2=90+3x/2\) метров.

3. После разворота курьер и человек из B движутся в одну сторону. Их скорость сближения равна \(3-2=1\) м/с. Время до встречи со вторым человеком: \(90+3x/2\) секунд.

Общее время такой поездки:

\[T(x)=\frac{x}{2}+90+\frac{3x}{2}=90+2x.\]

Оно максимально при \(x=90\):

\[T_{\max}=90+2\cdot90=270\text{ секунд}.\]

Проверим обратный порядок. Если сначала догонять человека из B, то время до него равно \(90-x\) секунд, так как скорость сближения равна \(3-2=1\) м/с. После этого расстояние до человека из A равно \(360-3x\) метров, а скорость сближения при движении влево равна \(3-1=2\) м/с. Получаем:

\[T_2(x)=90-x+\frac{360-3x}{2}=270-\frac{5x}{2}.\]

Для всех \(0\le x\le90\) выгоднее сначала догонять человека из A, поскольку \(90+2x\le270-\frac{5x}{2}\). Следовательно, гарантированное время равно 270 секундам.

Ответ: 270 секунд.