На продолжении стороны \( AC \) равнобедренного треугольника \( ABC \) с основанием \( BC \) отметили точку \( D \) так, что \( CD = BC \), а точка \( C \) находится между точками \( A \) и \( D \). Найдите величину угла \( CDB \), если угол \( BAC \) равен \( 68^\circ \).

Решение:

1. Обозначим углы треугольника \( ABC \): \( \angle BAC = \angle BCA = 68^\circ \) (так как треугольник равнобедренный).
2. Найдем угол \( ABC \):\(\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (68^\circ + 68^\circ) = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ\)
3. Рассмотрим треугольник \( BCD \). Так как \( CD = BC \), то треугольник \( BCD \) равнобедренный, и углы при основании \( BD \) равны: \( \angle CDB = \angle CBD \).
4. Угол \( BCA \) является внешним углом треугольника \( BCD \) при вершине \( C \). По теореме о внешнем угле треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: \( \angle BCA = \angle CDB + \angle CBD \).
5. Так как \( \angle CDB = \angle CBD \), можем записать: \( \angle BCA = 2 \cdot \angle CDB \).
6. Выразим \( \angle CDB \):\(\angle CDB = \frac{\angle BCA}{2} = \frac{68^\circ}{2} = 34^\circ\)

Ответ: \( \angle CDB = 34^\circ \)