На полке стояло 26 книг, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гриша, и Роман. Федя прочитала 7 книг, которых не читали ни Гриша, ни Роман, и две книги, которые читал Гриша. Всего Гриша прочитал 11 книг. Не было ни одной книги, которую прочитали одновременно Федя и Роман. Сколько книг прочитал только Роман?

Решение:

Обозначим:

• Ф — множество книг, прочитанных Федей
• Г — множество книг, прочитанных Гришей
• Р — множество книг, прочитанных Романом

Из условия задачи известно:

• Общее количество прочитанных книг = 26.
• \( |\Gamma \cap Р| = 4 \) (книги, прочитанные Гришей и Романом).
• \( |Ф \setminus (Г \cup Р)| = 7 \) (книги, прочитанные только Федей).
• \( |Ф \cap Г| = 2 \) (книги, прочитанные Федей и Гришей).
• \( |Г| = 11 \) (книги, прочитанные Гришей).
• \( |Ф \cap Р| = 0 \) (не было книг, прочитанных одновременно Федей и Романом).

Найдём количество книг, прочитанных только Гришей:

\( |Г \setminus (Ф ∪ Р)| = |Г| - |Г ∩ Ф| - |Г ∩ Р| + |Г ∩ Ф ∩ Р| \)

Так как \( |Ф ∩ Р| = 0 \), то \( |Г ∩ Ф ∩ Р| = 0 \).

\( |Г ∩ Ф| = 2 \) (включая те, что могли быть прочитаны и Романом, но поскольку \( |Ф ∩ Р| = 0 \), то эти 2 книги не пересекаются с Романом).

\( |Г ∩ Р| = 4 \) (книги, прочитанные Гришей и Романом. Включает книги, которые могли быть прочитаны и Федей. Но поскольку \( |Ф ∩ Р| = 0 \), эти 4 книги не пересекаются с Федей).

\( |Г ∩ Ф| = 2 \) (только Федей и Гришей)

\( |Г ∩ Р| = 4 \) (только Гришей и Романом)

\( |Ф ∩ Г ∩ Р| = 0 \) (книги, прочитанные всеми тремя)

Книги, прочитанные только Гришей = \( |Г| - (|Ф ∩ Г| - |Ф ∩ Г ∩ Р|) - (|Г ∩ Р| - |Ф ∩ Г ∩ Р|) - |Ф ∩ Г ∩ Р| \)

Количество книг, прочитанных только Гришей = \( 11 - (2 - 0) - (4 - 0) - 0 = 11 - 2 - 4 = 5 \).

Количество книг, прочитанных только Федей = 7.

Количество книг, прочитанных только Гришей = 5.

Количество книг, прочитанных только Романом = ?

Книги, прочитанные Гришей и Романом (но не Федей) = \( |Г ∩ Р| - |Ф ∩ Г ∩ Р| = 4 - 0 = 4 \).

Книги, прочитанные Федей и Гришей (но не Романом) = \( |Ф ∩ Г| - |Ф ∩ Г ∩ Р| = 2 - 0 = 2 \).

Общее количество прочитанных книг = (только Федя) + (только Гриша) + (только Роман) + (Федя и Гриша) + (Гриша и Роман) + (Федя и Роман) + (Все трое)

\( 26 = 7 + 5 + |Р \setminus (Ф ∪ Г)| + 2 + 4 + 0 + 0 \)

\( 26 = 18 + |Р \setminus (Ф ∪ Г)| \)

\( |Р \setminus (Ф ∪ Г)| = 26 - 18 = 8 \).

Итак, только Роман прочитал 8 книг.

Ответ: 8 книг.