На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС=6, ВС=4. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки В к этой окружности.

Решение:

Окружность имеет центр А и радиус R. Так как окружность проходит через точку С, то радиус равен длине отрезка АС.

\( R = AC = 6 \).

Отрезок АВ является отрезком, соединяющим центр окружности А с точкой В. Длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ:

\( AB = AC + CB = 6 + 4 = 10 \).

Пусть ВМ — отрезок касательной, проведённой из точки В к окружности. Радиус АМ, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной ВМ. Следовательно, треугольник АМВ является прямоугольным с прямым углом \( \angle AMB = 90^{\circ} \).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АМВ:

\[ AB^2 = AM^2 + BM^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 10^2 = 6^2 + BM^2 \]

\[ 100 = 36 + BM^2 \]

\[ BM^2 = 100 - 36 \]

\[ BM^2 = 64 \]

\[ BM = \sqrt{64} \]

\[ BM = 8 \]

Таким образом, длина отрезка касательной, проведённой из точки В к окружности, равна 8.

Ответ: 8