На острове 2/7 всех мужчин женаты и 3/5 всех женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в браке?

Решение:

Пусть \(M\) — количество мужчин на острове, а \(Ж\) — количество женщин на острове. Всего населения острова \(N = M + Ж\).

Количество женатых мужчин равно \( \frac{2}{7} M \).

Количество замужних женщин равно \( \frac{3}{5} Ж \).

Поскольку каждый женатый мужчина состоит в браке с одной замужней женщиной, количество женатых мужчин равно количеству замужних женщин:

\( \frac{2}{7} M = \frac{3}{5} Ж \)

Выразим \(M\) через \(Ж\) или наоборот:

\( M = \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{2} Ж = \frac{21}{10} Ж \)

Теперь найдём общее количество населения острова в терминах \(Ж\):

\( N = M + Ж = \frac{21}{10} Ж + Ж = \frac{21}{10} Ж + \frac{10}{10} Ж = \frac{31}{10} Ж \)

Число людей, состоящих в браке, равно количеству женатых мужчин (или замужних женщин):

\( \text{Брак} = \frac{2}{7} M = \frac{2}{7} \cdot \frac{21}{10} Ж = \frac{2 \cdot 21}{7 \cdot 10} Ж = \frac{42}{70} Ж = \frac{3}{5} Ж \)

Теперь найдём долю населения острова, состоящего в браке:

\( \text{Доля} = \frac{\text{Брак}}{N} = \frac{\frac{3}{5} Ж}{\frac{31}{10} Ж} \)

Сокращаем \(Ж\) и упрощаем дробь:

\( \text{Доля} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{31}{10}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{31} = \frac{3 \cdot 10}{5 \cdot 31} = \frac{30}{155} \)

Сокращаем дробь на 5:

\( \text{Доля} = \frac{6}{31} \)

Ответ: доля населения острова, состоящего в браке, равна \( \frac{6}{31} \).