На острове 2/3 всех мужчин женаты и 3/5 всех женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в браке?

Решение:

Пусть \( M \) — общее число мужчин на острове, а \( W \) — общее число женщин на острове. По условию задачи, 2/3 мужчин женаты, что означает, что количество женатых мужчин равно \( \frac{2}{3}M \). Также по условию 3/5 женщин замужем, что означает, что количество замужних женщин равно \( \frac{3}{5}W \).

В браке состоят женатые мужчины и замужние женщины. Количество людей, состоящих в браке, равно сумме женатых мужчин и замужних женщин. Однако, чтобы найти долю населения, нам нужно знать общее количество жителей острова. Предположим, что каждый женатый мужчина состоит в браке с одной замужней женщиной. Это означает, что количество женатых мужчин равно количеству замужних женщин.

Следовательно, \( \frac{2}{3}M = \frac{3}{5}W \).

Теперь выразим отношение \( M \) к \( W \):

\( M = \frac{3}{5}W \cdot \frac{3}{2} \)

\( M = \frac{9}{10}W \)

Общее население острова равно \( T = M + W \). Подставим выражение для \( M \) через \( W \):

\( T = \frac{9}{10}W + W = \frac{9}{10}W + \frac{10}{10}W = \frac{19}{10}W \)

Теперь найдем долю женатых мужчин в общем населении:

\( \text{Доля женатых мужчин} = \frac{\frac{2}{3}M}{T} = \frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10}W}{\frac{19}{10}W} = \frac{\frac{18}{30}W}{\frac{19}{10}W} = \frac{\frac{3}{5}W}{\frac{19}{10}W} = \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{19} = \frac{30}{95} = \frac{6}{19} \)

Найдем долю замужних женщин в общем населении:

\( \text{Доля замужних женщин} = \frac{\frac{3}{5}W}{T} = \frac{\frac{3}{5}W}{\frac{19}{10}W} = \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{19} = \frac{30}{95} = \frac{6}{19} \)

Общая доля населения, состоящего в браке, — это сумма долей женатых мужчин и замужних женщин:

\( \text{Доля в браке} = \frac{6}{19} + \frac{6}{19} = \frac{12}{19} \)

Альтернативный подход:

Пусть \( K \) — число пар (браков). Тогда количество женатых мужчин равно \( K \) и количество замужних женщин равно \( K \).

По условию, \( K = \frac{2}{3}M \) и \( K = \frac{3}{5}W \).

Из первого уравнения: \( M = \frac{3}{2}K \).

Из второго уравнения: \( W = \frac{5}{3}K \).

Общее население острова \( T = M + W = \frac{3}{2}K + \frac{5}{3}K \).

Приведем к общему знаменателю:

\( T = \frac{9}{6}K + \frac{10}{6}K = \frac{19}{6}K \)

Доля населения, состоящего в браке, равна количеству людей в браке (т.е. \( 2K \)) деленному на общее население \( T \):

\( \text{Доля в браке} = \frac{2K}{T} = \frac{2K}{\frac{19}{6}K} = \frac{2}{\frac{19}{6}} = 2 \cdot \frac{6}{19} = \frac{12}{19} \)

Ответ: Доля населения острова, состоящего в браке, составляет $\backslash (\backslash frac\{12\}\{19\}\backslash )$.