На основании АС равнобедренного треугольника ABC отметили точки D и E так, что AD = CE, точка D лежит между точками А и Е. Докажите, что ∠ABD = ∠CBE.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Отметим точки D и E на основании AC так, что AD = CE и точка D лежит между A и E. Требуется доказать, что ∠ABD = ∠CBE.

1. Т.к. треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC и углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.
2. Рассмотрим треугольники ABD и CBE. В них: AB = BC (как стороны равнобедренного треугольника ABC), AD = CE (по условию), и ∠BAC = ∠BCA (как углы при основании равнобедренного треугольника ABC).
3. Следовательно, треугольники ABD и CBE равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
4. Из равенства треугольников ABD и CBE следует равенство соответствующих углов, т.е. ∠ABD = ∠CBE.

Ответ: ∠ABD = ∠CBE, что и требовалось доказать.