199 На окружности с центром О выбрана точка А. Из этой окружности выбирают случайную точку Х. Найдите вероятность того, что угол AOX: а) меньше 90°; б) больше 120°; в) находится в пределах от 30° до 60°.

В данной задаче рассматривается геометрическая вероятность. Вероятность того, что случайно выбранная точка попадет в определенную дугу, пропорциональна длине этой дуги.

а) Угол меньше 90°:

1. Полная окружность составляет 360°.
2. Угол 90° составляет четверть окружности (90° / 360° = 1/4).
3. Вероятность того, что угол AOX меньше 90°, равна отношению длины дуги, соответствующей углу 90°, к длине всей окружности.

$$ P(AOX < 90°) = \frac{90°}{360°} = \frac{1}{4} = 0,25 $$

Ответ: 0,25

б) Угол больше 120°:

1. Угол 120° составляет 120° / 360° = 1/3 часть окружности.
2. Вероятность того, что угол AOX больше 120°, равна отношению длины дуги, соответствующей углу 120°, к длине всей окружности.

$$ P(AOX > 120°) = \frac{360° - 120°}{360°} = \frac{240°}{360°} = \frac{2}{3} ≈ 0,67 $$

Ответ: ≈ 0,67

в) Угол находится в пределах от 30° до 60°:

1. Разница между углами 60° и 30° составляет 30°.
2. Вероятность того, что угол AOX находится в пределах от 30° до 60°, равна отношению длины дуги, соответствующей углу 30°, к длине всей окружности.

$$ P(30° < AOX < 60°) = \frac{60° - 30°}{360°} = \frac{30°}{360°} = \frac{1}{12} ≈ 0,083 $$

Ответ: ≈ 0,083