На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки С и D. Угол DCB равен 78°. Найдите угол DBA. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Дан диаметр \( AB \) окружности. Точки \( C \) и \( D \) лежат по разные стороны от диаметра. Известно, что \( \angle DCB = 78^{\circ} \).

1. Угол ADB.

Так как \( AB \) — диаметр, то угол, опирающийся на диаметр, равен 90°. Следовательно, \( \angle ADB = 90^{\circ} \) (угол, опирающийся на диаметр).

2. Угол DAB.

Рассмотрим треугольник \( ADB \). Сумма углов в треугольнике равна 180°. Мы знаем \( \angle ADB = 90^{\circ} \). Нам нужно найти \( \angle DBA \) и \( \angle DAB \).

3. Угол ACB.

Аналогично \( \angle ADB \), угол \( \angle ACB \) также опирается на диаметр \( AB \), поэтому \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

4. Угол ACD.

Угол \( \angle ACD \) — это разность углов \( \angle ACB \) и \( \angle DCB \). Однако, точки C и D находятся по разные стороны от диаметра AB, что означает, что угол \( \angle ACB \) и \( \angle DCB \) связаны по-другому. Важно, что \( \angle DCB \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( DB \).

5. Угол DAB.

Вписанный угол \( \angle DCB \) опирается на дугу \( DB \). Величина дуги \( DB \) равна удвоенной величине вписанного угла, то есть \( \text{arc}(DB) = 2 \cdot \angle DCB = 2 \cdot 78^{\circ} = 156^{\circ} \).

6. Угол DBA.

Угол \( \angle DAB \) — это вписанный угол, который опирается на дугу \( DB \). Следовательно, \( \angle DAB = \frac{1}{2} \text{arc}(DB) = \frac{1}{2} \cdot 156^{\circ} = 78^{\circ} \).

7. Угол DBA.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( ADB \) (так как \( \angle ADB = 90^{\circ} \)). Сумма углов в треугольнике равна 180°. Мы нашли \( \angle DAB = 78^{\circ} \). Тогда \( \angle DBA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle DAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 78^{\circ} = 12^{\circ} \).

Альтернативный способ:

Углы \( \angle DAB \) и \( \angle DCB \) опираются на одну и ту же дугу \( DB \). Следовательно, \( \angle DAB = \angle DCB = 78^{\circ} \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( ADB \), где \( \angle ADB = 90^{\circ} \) (т.к. опирается на диаметр). Сумма углов в \( \triangle ADB \) равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle DBA + \angle DAB + \angle ADB = 180^{\circ} \)

\( \angle DBA + 78^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle DBA + 168^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle DBA = 180^{\circ} - 168^{\circ} \)

\( \angle DBA = 12^{\circ} \).

Еще один вариант рассуждения:

Углы \( \angle DCB \) и \( \angle DAB \) являются вписанными углами, опирающимися на дугу \( DB \). Следовательно, \( \angle DAB = \angle DCB = 78^{\circ} \).

Так как \( AB \) — диаметр, то \( \angle ACB = 90^{\circ} \) и \( \angle ADB = 90^{\circ} \) (вписанные углы, опирающиеся на диаметр).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ADB \). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна \( 90^{\circ} \).

\( \angle DBA + \angle DAB = 90^{\circ} \)

\( \angle DBA + 78^{\circ} = 90^{\circ} \)

\( \angle DBA = 90^{\circ} - 78^{\circ} \)

\( \angle DBA = 12^{\circ} \).

Итоговое решение:

1. Углы \( \angle DCB \) и \( \angle DAB \) — вписанные, опирающиеся на одну дугу \( DB \). Следовательно, \( \angle DAB = \angle DCB = 78^{\circ} \).

2. \( AB \) — диаметр, поэтому \( \angle ADB = 90^{\circ} \) (угол, опирающийся на диаметр).

3. В прямоугольном треугольнике \( ADB \) сумма острых углов равна \( 90^{\circ} \).

\( \angle DBA + \angle DAB = 90^{\circ} \)

\( \angle DBA + 78^{\circ} = 90^{\circ} \)

\( \angle DBA = 90^{\circ} - 78^{\circ} = 12^{\circ} \).

Ответ: 12.