На окружности даны последовательно четыре точки А, В, С, Д такие, что дуги АВ и CD равны. Укажите другие пары равных дуг с концами в данных точках. Рассмотрите специальные случаи: а) точка В является серединой АС; б) дуги AB, BC, CD и DA равны.

Решение:

Дано: на окружности точки A, B, C, D расположены последовательно, дуга AB = дуга CD.

Найти: другие пары равных дуг.

Случай 1:

Если дуга AB = дуга CD, то равны и хорды, стягивающие эти дуги: AB = CD.

Рассмотрим случай, когда равны дуги BC и DA. В этом случае хорды BC = DA.

Если дуга AB = дуга CD, то равны и дуги, дополняющие полную окружность до этих равных дуг:

Дуга ABC = Дуга BCD (дуга AB + дуга BC = дуга CD + дуга BC)

Дуга BCD = Дуга CDA (дуга CD + дуга DA = дуга DA + дуга AB)

Отсюда следует, что дуга ABC = Дуга CDA.

Также, если дуга AB = дуга CD, то равны и дуги AC и BD, если отбросить равные дуги BC.

Другие пары равных дуг:

• Дуга BC = Дуга DA
• Дуга AC = Дуга BD
• Дуга ABC = Дуга BCD
• Дуга BCD = Дуга CDA
• Дуга CDA = Дуга DAB
• Дуга DAB = Дуга ABC

Случай а) Точка В является серединой АС:

Если В — середина дуги АС, то дуга AB = дуга BC.

Так как по условию дуга AB = дуга CD, то получаем:

дуга AB = дуга BC = дуга CD.

Следовательно, дуга DA = 360° - (дуга AB + дуга BC + дуга CD) = 360° - 3 * (дуга AB).

Таким образом, дуги AB, BC, CD равны, а дуга DA может быть равна им или отличаться.

Случай б) Дуги AB, BC, CD и DA равны:

Если все четыре дуги равны, то каждая дуга составляет 360° / 4 = 90°.

В этом случае точки A, B, C, D делят окружность на четыре равные части. Фигура ABCD является квадратом.

Ответ: Другие пары равных дуг: дуга BC = дуга DA, дуга AC = дуга BD.