На одной из кафедр университета работают 13 человек, причем каждый знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают английский, семеро – немецкий, шестеро – французский, пятеро знают английский и немецкий, четверо – английский и французский, трое – немецкий и французский языки. Выясните, сколько человек знают все три языка.

Решение:

Обозначим количество людей, знающих все три языка, за x.

Логика такая: Сначала нужно определить количество людей, знающих только два языка, а затем, исходя из общего количества, найти тех, кто знает все три.

• Количество людей, знающих только английский и немецкий: 5 - x
• Количество людей, знающих только английский и французский: 4 - x
• Количество людей, знающих только немецкий и французский: 3 - x

Далее, определим количество людей, знающих только один язык:

• Только английский: 10 - (5 - x) - (4 - x) - x = 10 - 5 + x - 4 + x - x = 1 + x
• Только немецкий: 7 - (5 - x) - (3 - x) - x = 7 - 5 + x - 3 + x - x = -1 + x
• Только французский: 6 - (4 - x) - (3 - x) - x = 6 - 4 + x - 3 + x - x = -1 + x

Теперь суммируем всех людей. Получаем уравнение:

(1 + x) + (-1 + x) + (-1 + x) + (5 - x) + (4 - x) + (3 - x) + x = 13

Раскрываем скобки и упрощаем:

1 + x - 1 + x - 1 + x + 5 - x + 4 - x + 3 - x + x = 13

x + x - x - x - x + x = 13 - 1 + 1 + 1 - 5 - 4 - 3

x = 13 - 1 + 1 + 1 - 5 - 4 - 3

x = -1 + 1 + 1 - 5 - 4 - 3

x = 1 - 5 - 4 - 3

x = -4 - 4 - 3

x = -8 - 3

x = -11

Второй вариант уравнения:

13 = (1+x) + (-1+x) + (-1+x) + (5-x) + (4-x) + (3-x) + x

13 = 1+x-1+x-1+x+5-x+4-x+3-x+x

13 = (1-1-1+5+4+3) + (x+x+x-x-x-x+x)

13 = 11 + x

x = 13 - 11

x = 2

Ответ: 2 человека знают все три языка.