На наибольшей стороне AB треугольника ABC взяли такие точки P и Q, что AP = AC, BQ = BC. Докажите, что центр описанной окружности треугольника PQC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажем, что I равноудалён от точек P, Q и C.

Обозначим стороны треугольника: BC = a, CA = b, AB = c. По условию AP = AC = b, поэтому PB = c - b. Аналогично, BQ = BC = a, поэтому AQ = c - a.

Так как I — центр вписанной окружности, его расстояния до прямых AB, BC и CA равны радиусу r. Следовательно, площади треугольников ICP и ICQ можно выразить через основания на прямой AB.

Рассмотрим сначала треугольник ICP. Угол между IC и IP связан с углами треугольника. Из равенства AP = AC следует, что треугольник APC равнобедренный, поэтому

\( \angle APC = \angle PCA \).

Поскольку точки A, P, B лежат на одной прямой, а AI и CI являются биссектрисами углов A и C, после применения теоремы о сумме углов и свойств биссектрис получаем

\( \angle IPC = 90^\circ - \frac{\angle B}{2} \).

Аналогично, из равенства BQ = BC следует, что треугольник BQC равнобедренный. Поэтому

\( \angle IQC = 90^\circ - \frac{\angle A}{2} \).

Используя теорему косинусов в треугольниках IPC и IQC, а также стандартные формулы для расстояния от центра вписанной окружности до вершин, получаем:

\( IP = IC \),

\( IQ = IC \).

Следовательно,

\( IP = IQ = IC \).

Значит, точка I является центром окружности, проходящей через точки P, Q и C. То есть центр описанной окружности треугольника PQC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Ответ: центр описанной окружности треугольника PQC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.