На медиане ВМ треугольника АВС как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону АВ в её середине К. Найдите радиус описанной окружности треугольника АВС, если АС = 1.

Решение:

Пусть \( O \) — центр описанной окружности треугольника \( ABC \), а \( R \) — её радиус.

По условию, \( BM \) — медиана треугольника \( ABC \). Точка \( M \) — середина стороны \( AC \). Следовательно, \( AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{1}{2} \).

Окружность с диаметром \( BM \) проходит через точку \( K \), середину стороны \( AB \). Это означает, что угол \( BKМ \) — вписанный и опирается на диаметр, значит, \( \angle BKМ = 90^{\circ} \). Следовательно, \( KM \) — высота треугольника \( ABM \).

Также, так как \( BM \) — диаметр окружности, проходящей через \( K \), то \( \angle BKM = 90^{\circ} \). Это противоречит тому, что \( K \) — середина \( AB \) и \( BM \) — медиана. Проанализируем условие ещё раз:

«На медиане \( BM \) треугольника \( ABC \) как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону \( AB \) в её середине \( K \).»

Это означает, что \( K \) лежит на окружности с диаметром \( BM \). Угол \( BKМ \) вписан в эту окружность и опирается на диаметр, значит \( \angle BKM = 90^{\circ} \). Следовательно, \( KM \) перпендикулярна \( AB \).

Так как \( K \) — середина \( AB \) и \( KM \) — перпендикуляр к \( AB \), то треугольник \( ABM \) — равнобедренный с \( AK = KB \) и \( KM \) — высота и медиана. Это не всегда верно.

Вернёмся к свойству вписанного угла. Если \( BM \) — диаметр окружности, проходящей через \( K \) (середину \( AB \)), то \( \angle BKM = 90^{\circ} \). Это значит, что \( KM \) перпендикулярна \( AB \).

Теперь рассмотрим треугольник \( ABC \). \( BM \) — медиана. \( K \) — середина \( AB \).

Рассмотрим треугольник \( ABM \). \( BK = KA \) и \( KM \perp AB \). Это означает, что \( \triangle ABM \) равнобедренный, и \( BM = AM \).

Но \( AM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2} \).

Значит, \( BM = \frac{1}{2} \).

Медиана \( BM \) равна половине стороны \( AC \). В треугольнике \( ABC \) медиана, проведённая к стороне \( AC \), равна половине этой стороны. Это возможно только если угол \( ∠ B \) прямой, то есть \( ∠ ABC = 90^{\circ} \).

Если \( ∠ ABC = 90^{\circ} \), то \( AC \) является диаметром описанной окружности треугольника \( ABC \).

Радиус описанной окружности \( R \) будет равен половине диаметра \( AC \).

\[ R = \frac{AC}{2} = \frac{1}{2} \]

Ответ: 0.5.