На квадратной сетке строят остров из 28 участков 1 × 1. Внутри острова должен быть прямоугольный пруд размером 2 х 2 участка; пруд не входит в площадь острова и полностью окружён участками острова. Нужно поставить забор и по внешней границе острова, и по границе пруда. Какой наименьшей может быть суммарная длина забора?

Решение:

Задача состоит в том, чтобы минимизировать суммарную длину забора, который ограждает остров снаружи и пруд внутри. Общая длина забора будет равна периметру острова плюс периметру пруда.

1. Анализ условий:

• Площадь острова: 28 участков 1×1.
• Форма острова: квадратная сетка (не указана точная форма, но для минимизации периметра при фиксированной площади, форма должна быть максимально приближена к квадрату).
• Пруд: прямоугольный, размером 2×2 участка.
• Расположение пруда: внутри острова, полностью окружён участками острова.
• Забор: ставится по внешней границе острова и по границе пруда.

2. Нахождение размеров острова:

Площадь острова = 28. Так как остров построен на квадратной сетке, его стороны должны быть целыми числами. Возможные размеры сторон (длина × ширина), дающие площадь 28:

• 1 × 28
• 2 × 14
• 4 × 7

Для минимизации периметра, форма острова должна быть максимально близка к квадрату. Наилучший вариант — 4 × 7.

Периметр острова = 2 * (длина + ширина) = 2 * (4 + 7) = 2 * 11 = 22 участка.

3. Нахождение размеров пруда:

Размер пруда: 2 × 2 участка. Периметр пруда = 2 * (2 + 2) = 2 * 4 = 8 участков.

4. Условие полного окружения пруда:

Чтобы пруд размером 2×2 был полностью окружён участками острова, минимальный размер острова, который может вместить такой пруд, должен быть больше размера пруда на 2 единицы с каждой стороны (по 1 участку с каждой стороны для ограждения). То есть, остров должен быть минимум 4×4. Наши размеры 4×7 удовлетворяют этому условию.

5. Расчёт суммарной длины забора:

Суммарная длина забора = Периметр острова + Периметр пруда

Суммарная длина забора = 22 + 8 = 30 участков.

6. Проверка минимизации:

Рассмотрим другие возможные размеры острова:

• Если остров 2 × 14: Периметр острова = 2 * (2 + 14) = 32. Суммарный забор = 32 + 8 = 40.
• Если остров 1 × 28: Периметр острова = 2 * (1 + 28) = 58. Суммарный забор = 58 + 8 = 66.

Таким образом, размеры 4 × 7 для острова действительно дают наименьшую суммарную длину забора.

Ответ: 30