На координатной плоскости постройте треугольник ABC, если A(4; 5), B(-3;2), C(5; -4). Запишите координаты точек пересечения сторон треугольника с прямой MN.

Решение:

Для построения графика и определения точек пересечения необходимо знать уравнение прямой MN. В данном изображении прямая MN проходит через точки (0, 0) и (1, 1), что соответствует уравнению \( y = x \).

Построим треугольник ABC на координатной плоскости.

Для нахождения точек пересечения сторон треугольника с прямой \( y = x \), будем подставлять \( y = x \) в уравнения прямых, содержащих стороны треугольника.

1. Сторона AB:

Уравнение прямой, проходящей через точки \( A(4; 5) \) и \( B(-3; 2) \):

\( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \)

\( \frac{y - 5}{2 - 5} = \frac{x - 4}{-3 - 4} \)

\( \frac{y - 5}{-3} = \frac{x - 4}{-7} \)

\( -7(y - 5) = -3(x - 4) \)

\( -7y + 35 = -3x + 12 \)

\( 7y = 3x + 23 \)

Подставляем \( y = x \): \( 7x = 3x + 23 \) \( \Rightarrow 4x = 23 \) \( \Rightarrow x = \frac{23}{4} = 5.75 \). Следовательно, \( y = 5.75 \). Точка пересечения с AB: \( (5.75; 5.75) \). Однако, эта точка находится вне отрезка AB (x=5.75 > 4).

2. Сторона BC:

Уравнение прямой, проходящей через точки \( B(-3; 2) \) и \( C(5; -4) \):

\( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \)

\( \frac{y - 2}{-4 - 2} = \frac{x - (-3)}{5 - (-3)} \)

\( \frac{y - 2}{-6} = \frac{x + 3}{8} \)

\( 8(y - 2) = -6(x + 3) \)

\( 8y - 16 = -6x - 18 \)

\( 8y = -6x - 2 \)

\( 4y = -3x - 1 \)

Подставляем \( y = x \): \( 4x = -3x - 1 \) \( \Rightarrow 7x = -1 \) \( \Rightarrow x = -\frac{1}{7} \). Следовательно, \( y = -\frac{1}{7} \). Точка пересечения с BC: \( (-\frac{1}{7}; -\frac{1}{7}) \).

3. Сторона AC:

Уравнение прямой, проходящей через точки \( A(4; 5) \) и \( C(5; -4) \):

\( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \)

\( \frac{y - 5}{-4 - 5} = \frac{x - 4}{5 - 4} \)

\( \frac{y - 5}{-9} = \frac{x - 4}{1} \)

\( y - 5 = -9(x - 4) \)

\( y - 5 = -9x + 36 \)

\( y = -9x + 41 \)

Подставляем \( y = x \): \( x = -9x + 41 \) \( \Rightarrow 10x = 41 \) \( \Rightarrow x = 4.1 \). Следовательно, \( y = 4.1 \). Точка пересечения с AC: \( (4.1; 4.1) \).

Проверим, попадают ли точки пересечения на отрезки сторон.

Для AB: \( x = 5.75 \) вне диапазона \( [-3, 4] \).

Для BC: \( x = -1/7 \) находится в диапазоне \( [-3, 5] \). Точка \( (-\frac{1}{7}; -\frac{1}{7}) \) является точкой пересечения.

Для AC: \( x = 4.1 \) находится в диапазоне \( [4, 5] \). Точка \( (4.1; 4.1) \) является точкой пересечения.

Ответ: Координаты точек пересечения сторон треугольника с прямой MN (y=x): \( (-\frac{1}{7}; -\frac{1}{7}) \) и \( (4.1; 4.1) \).