На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Найдите скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).

Сначала определим координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) по рисунку.

Вектор \(\vec{a}\) начинается в точке (0,1) и заканчивается в точке (2,3). Следовательно, его координаты: $$\vec{a} = (2 - 0, 3 - 1) = (2, 2)$$

Вектор \(\vec{b}\) начинается в точке (0,0) и заканчивается в точке (1,1). Следовательно, его координаты: $$\vec{b} = (1 - 0, 1 - 0) = (1, 1)$$

Скалярное произведение двух векторов \(\vec{a} = (x_1, y_1)\) и \(\vec{b} = (x_2, y_2)\) вычисляется по формуле: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$$

В нашем случае: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (2)(1) = 2 + 2 = 4$$