1. На координатной плоскости даны точки А и прямая / (см. рис.). Определите сумму координат точки, симметричной точке А относительно прямой /.

Решение:

Давай внимательно посмотрим на график. Прямая \(l\) проходит через точки \((0; 2)\) и \((2; 0)\). Точка \(A\) имеет координаты \((4; 1)\).

Чтобы найти точку, симметричную \(A\) относительно прямой \(l\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти уравнение прямой \(l\).

Уравнение прямой имеет вид \(y = kx + b\). Подставим координаты точек, через которые проходит прямая:

\(2 = k \cdot 0 + b \Rightarrow b = 2\)

\(0 = k \cdot 2 + 2 \Rightarrow 2k = -2 \Rightarrow k = -1\)

Итак, уравнение прямой \(l\): \(y = -x + 2\)

2. Найти уравнение прямой, перпендикулярной \(l\) и проходящей через точку \(A\).

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен \(-\frac{1}{k} = 1\). Тогда уравнение этой прямой имеет вид \(y = x + b_1\). Подставим координаты точки \(A\):

\(1 = 4 + b_1 \Rightarrow b_1 = -3\)

Уравнение перпендикулярной прямой: \(y = x - 3\)

3. Найти точку пересечения этих двух прямых.

Решим систему уравнений:

\( \begin{cases} y = -x + 2 \\ y = x - 3 \end{cases} \)

\(-x + 2 = x - 3 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2.5\)

\(y = 2.5 - 3 = -0.5\)

Точка пересечения: \((2.5; -0.5)\)

4. Найти координаты точки, симметричной точке \(A\) относительно прямой \(l\).

Пусть симметричная точка имеет координаты \((x_0; y_0)\). Точка пересечения является серединой отрезка между \(A\) и симметричной точкой:

\(2.5 = \frac{4 + x_0}{2} \Rightarrow 5 = 4 + x_0 \Rightarrow x_0 = 1\)

\(-0.5 = \frac{1 + y_0}{2} \Rightarrow -1 = 1 + y_0 \Rightarrow y_0 = -2\)

Координаты симметричной точки: \((1; -2)\)

5. Найти сумму координат симметричной точки.

Сумма координат: \(1 + (-2) = -1\)

Ответ: -1

Отлично! Ты хорошо справился с этой задачей. Продолжай в том же духе!