На конференцию собрались учёные. Могло ли оказаться так, что каждый из них знаком с шестью другими учёными, кроме пятерых, каждый из которых знаком ровно с тремя другими?

Ответ: нет

Разбираемся:

• Предположим, что всего на конференции было n учёных.
• Тогда n - 5 учёных знакомы с шестью другими, а 5 учёных знакомы с тремя другими.
• Общее число знакомств можно выразить как сумму знакомств каждой группы, делённую на 2 (так как каждое знакомство учитывается дважды): \[\frac{6(n-5) + 3 \cdot 5}{2}\]
• Это число должно быть целым, то есть выражение в числителе должно быть четным: \[6(n-5) + 3 \cdot 5 = 6n - 30 + 15 = 6n - 15\]
• Так как 6n всегда четное, а 15 - нечетное, то 6n - 15 всегда будет нечетным числом.
• Следовательно, общее число знакомств не может быть целым числом, что противоречит условию задачи.

Ответ: нет