На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см нарисована фигура (см. рисунок). Нарисуйте другую фигуру, состоящую из клеток, площадь которой на 1 см² больше площади данной фигуры, а периметр на 2 сантиметра меньше периметра данной фигуры. Границы вашей фигуры должны проходить только по линиям нарисованной сетки.

Анализ фигуры:

Данная фигура состоит из 8 клеток. Каждая клетка имеет площадь 1 см². Следовательно, площадь исходной фигуры составляет 8 см².

Периметр фигуры складывается из внешних сторон клеток. Посчитаем длину каждой стороны:

• Верхняя сторона: 3 клетки = 3 см
• Правая сторона: 3 клетки = 3 см
• Нижняя сторона: 3 клетки = 3 см
• Левая сторона: 3 клетки = 3 см
• Внутренние выступы: 2 * (1 клетка + 1 клетка) = 4 клетки = 4 см

Общий периметр = 3 + 3 + 3 + 3 + 4 = 16 см.

Требования к новой фигуре:

• Площадь: 8 см² + 1 см² = 9 см² (т.е. 9 клеток).
• Периметр: 16 см - 2 см = 14 см.

Построение новой фигуры:

Нужно построить фигуру из 9 клеток так, чтобы ее периметр был равен 14 см.

Вариант фигуры:

Представим квадрат 3х3 клетки. Его площадь равна 9 см².

Периметр квадрата 3х3 = 4 * 3 клетки = 12 см.

Это не соответствует условию (периметр должен быть 14 см).

Попробуем другую конфигурацию из 9 клеток. Можно убрать одну клетку из квадрата 3х3, чтобы получить другую фигуру с площадью 9 см².

Рассмотрим квадрат 3х3 клетки. Его периметр 12 см. Площадь 9 клеток.

Уберем одну угловую клетку. Площадь останется 8 клеток. Периметр станет 14 см. (3+3+2+2+1+1 = 12)

Рассмотрим квадрат 3х3. Его периметр 12 см. Площадь 9 клеток.

Чтобы периметр стал 14 см, нам нужно добавить 2 см. Это можно сделать, добавив два выступа по одной клетке.

Рассмотрим следующую фигуру:

1. Квадрат 3х3: Площадь = 9 клеток, Периметр = 12 клеток.

2. Добавляем 2 выступа по 1 клетке:

Представим квадрат 3х3. Уберем одну клетку из середины одной из сторон. Например, из центра верхней стороны. Получим фигуру.

Фигура 1 (из условия):

• Площадь: 8 клеток.
• Периметр: 16 клеток.

Нужная фигура:

• Площадь: 9 клеток (+1 к исходной).
• Периметр: 14 клеток (-2 к исходной).

Вариант построения:

Возьмем квадрат 3х3 клетки. Его площадь 9 клеток. Периметр 12 клеток.

Чтобы увеличить периметр на 2 клетки (до 14), можно добавить два выступа по одной клетке с разных сторон, так, чтобы они не образовывали новую внутреннюю площадь.

Пример фигуры:

1. Сложим три клетки в ряд.
2. Над средней клеткой добавим еще одну клетку.
3. Под средней клеткой добавим еще одну клетку.
4. Справа от средней клетки добавим еще одну клетку.

Получилась фигура:

XXXXX

X X

X X

XXXXX

Эта фигура имеет площадь 9 клеток. Периметр: 5+2+2+5+2+2 = 18 см. Не подходит.

Рассмотрим другой вариант:

Квадрат 3х3. Площадь = 9 клеток. Периметр = 12 клеток.

Нам нужен периметр 14 клеток.

Это значит, что у фигуры должно быть 14 внешних сторон длиной в 1 клетку.

Можно построить фигуру так:

Три клетки в ряд. Над первой клеткой – еще одна. Над третьей клеткой – еще одна.

  X   X

XXX

Площадь = 5 клеток. Периметр = 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3 = 12 см. Не подходит.

Рассмотрим фигуру из 9 клеток, периметр которой равен 14 см:

Квадрат 3х3: Площадь=9, Периметр=12.

Чтобы увеличить периметр до 14, нужно добавить 2 единицы длины. Это можно сделать, «ломая» линии периметра.

Пример:

Представим квадрат 3х3. Добавим к нему две клетки, выступающие из середины боковых сторон.

 XXX

X X X

 XXX

  X

  X

Это 11 клеток. Не подходит.

Вернемся к квадрату 3х3 (9 клеток, периметр 12).

Чтобы получить периметр 14, мы можем добавить две клетки таким образом, чтобы они увеличили периметр на 2.

Пример:

Три клетки в ряд. Над средней клеткой – еще две (образуя «П»-образную форму, но с двумя клетками сверху).

 XX

XXX

Площадь = 5 клеток. Периметр = 2+1+2+1+2+1+1+1 = 11. Не подходит.

Правильный подход:

Площадь = 9 клеток.

Периметр = 14 клеток.

Квадрат 3х3: Площадь = 9, Периметр = 12.

Чтобы увеличить периметр на 2, нужно добавить два выступа по 1 клетке, которые не сливаются вплотную.

Фигура:

 XXX

X X X

 XX

Это 8 клеток. Не подходит.

Построение фигуры с площадью 9 см² и периметром 14 см:

1. Нарисуйте квадрат 3х3 клетки. Его площадь 9 см², периметр 12 см.

2. Чтобы увеличить периметр до 14 см, добавьте к этому квадрату две клетки по одной стороне так, чтобы они образовывали выступ.

Пример:

 X

XXX

XXX

XX

Площадь: 1+3+3+2 = 9 клеток.

Периметр: 1+1+1+1+1+1+3+1+1+1+1+1 = 14 см.

Таким образом, искомая фигура может быть следующей:

 X

XXX

XXX

XX

Объяснение:

Эта фигура состоит из 9 клеток, что дает площадь 9 см² (на 1 см² больше исходной).

Периметр фигуры: 1 (верхняя) + 1 (правая) + 1 (правая) + 1 (правая) + 1 (нижняя) + 1 (нижняя) + 3 (нижняя) + 1 (левая) + 1 (левая) + 1 (левая) + 1 (верхняя) + 1 (верхняя) = 14 см (на 2 см меньше исходной).