На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:

Разместим точки на координатной плоскости. Пусть точка B будет началом координат (0, 0).

Точка B находится в (0, 0).

Точка A находится на 2 клетки влево и 3 клетки вверх от B, значит, A = (-2, 3).

Точка C находится на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх от B, значит, C = (3, 1).

Теперь найдем уравнение прямой BC, проходящей через точки B(0, 0) и C(3, 1).

Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид \( y = kx \).

Подставим координаты точки C (3, 1), чтобы найти k:

\( 1 = k \cdot 3 \)

\( k = \frac{1}{3} \)

Таким образом, уравнение прямой BC: \( y = \frac{1}{3} x \).

Перепишем уравнение в виде \( Ax + By + C = 0 \):

\( \frac{1}{3} x - y = 0 \) или \( x - 3y = 0 \).

Теперь найдем расстояние от точки A(-2, 3) до прямой BC (\( x - 3y = 0 \)).

Формула расстояния от точки \( (x_0, y_0) \) до прямой \( Ax + By + C = 0 \) :

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Здесь \( x_0 = -2 \), \( y_0 = 3 \), \( A = 1 \), \( B = -3 \), \( C = 0 \).

\[ d = \frac{|1 \cdot (-2) + (-3) \cdot 3 + 0|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{|-2 - 9|}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{|-11|}{\sqrt{10}} = \frac{11}{\sqrt{10}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{10} \):

\[ d = \frac{11 \sqrt{10}}{10} \]

Приближенное значение \( \sqrt{10} \) ≈ 3.16.

\[ d \approx \frac{11 \cdot 3.16}{10} = \frac{34.76}{10} = 3.476 \]

Ответ: \(\frac{11 \sqrt{10}}{10}\)