На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 отмечены точки А, В и С. Найдите сумму углов АВС и САВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим координаты точек, принимая, что левый нижний угол сетки — начало координат \( (0,0) \).

• Точка A: \( (4, 0) \)
• Точка B: \( (1, 2) \)
• Точка C: \( (4, 2) \)

Угол ABC:

Вектор \( BA = A - B = (4-1, 0-2) = (3, -2) \).

Вектор \( BC = C - B = (4-1, 2-2) = (3, 0) \).

Косинус угла ABC можно найти по формуле: \( \cos(\angle ABC) = \frac{BA \cdot BC}{|BA| \cdot |BC|} \).

Скалярное произведение \( BA \cdot BC = 3 \cdot 3 + (-2) \cdot 0 = 9 \).

Длина вектора \( |BA| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \).

Длина вектора \( |BC| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 \).

\( \cos(\angle ABC) = \frac{9}{3\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}} \).

Заметим, что BC — горизонтальный отрезок, а AB — наклонный. Угол, который AB образует с горизонталью, имеет тангенс \( \frac{2}{3} \) (с учетом наклона вниз). Угол ABC — это угол между вектором BA (направленным вверх и вправо) и вектором BC (направленным вправо).

Угол наклона вектора BA к горизонтали равен \( \alpha = \arctan(\frac{2}{3}) \).

Угол ABC равен \( \angle ABC = 90^{\circ} - \alpha \).

Угол CAB:

Вектор \( AC = C - A = (4-4, 2-0) = (0, 2) \).

Вектор \( AB = B - A = (1-4, 2-0) = (-3, 2) \).

\( \cos(\angle CAB) = \frac{AC \cdot AB}{|AC| \cdot |AB|} \).

Скалярное произведение \( AC \cdot AB = 0 \cdot (-3) + 2 \cdot 2 = 4 \).

Длина вектора \( |AC| = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2 \).

Длина вектора \( |AB| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \).

\( \cos(\angle CAB) = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}} \).

Заметим, что AC — вертикальный отрезок. Угол CAB — это угол между вертикалью (вектор AC) и наклонной прямой AB. Тангенс угла, который AB образует с горизонталью, равен \( \frac{2}{3} \). Пусть \( \beta \) — этот угол. Тогда \( \tan(\beta) = \frac{2}{3} \). Угол CAB равен \( \angle CAB = 90^{\circ} - \beta \).

Сумма углов: \( \angle ABC + \angle CAB \).

Заметим, что треугольник ABC прямоугольный, так как точки B и C имеют одинаковую y-координату, а точки A и C — одинаковую x-координату. Следовательно, BC параллельна оси X, а AC параллельна оси Y. Значит, угол ACB равен 90 градусов.

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов. Поэтому \( \angle ABC + \angle CAB = 90^{\circ} \).

Ответ: 90.