На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник АВС. Найдите длину медианы, проведённой из вершины С.

Решение:

Определим координаты вершин треугольника АВС, приняв за начало координат точку, расположенную в левом нижнем углу сетки, соответствующую точке С. Учитывая, что размер клетки 1x1:

• Координаты точки C: \( (0, 0) \).
• Координаты точки A: \( (4, 1) \) (4 клетки вправо, 1 клетка вверх).
• Координаты точки B: \( (0, 4) \) (0 клеток вправо, 4 клетки вверх).

Медиана, проведённая из вершины C, соединяет вершину C с серединой противоположной стороны AB. Найдем координаты середины отрезка AB (точку M).

Координаты середины отрезка \( M \) вычисляются по формулам:

\( x_M = \frac{x_A + x_B}{2} \) и \( y_M = \frac{y_A + y_B}{2} \)

Подставим координаты точек A и B:

\( x_M = \frac{4 + 0}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( y_M = \frac{1 + 4}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \)

Таким образом, координаты середины отрезка AB (точки M) равны \( (2, 2.5) \).

Теперь найдем длину медианы CM, используя формулу расстояния между двумя точками \( C(0, 0) \) и \( M(2, 2.5) \):

\( CM = \sqrt{(x_M - x_C)^2 + (y_M - y_C)^2} \)

\( CM = \sqrt{(2 - 0)^2 + (2.5 - 0)^2} \)

\( CM = \sqrt{2^2 + 2.5^2} \)

\( CM = \sqrt{4 + 6.25} \)

\( CM = \sqrt{10.25} \)

Для удобства можно выразить \( \sqrt{10.25} \) как \( \sqrt{\frac{41}{4}} = \frac{\sqrt{41}}{2} \).

Ответ: \( \sqrt{10.25} \) или \( \frac{\sqrt{41}}{2} \)