На каком расстоянии от центра Земли силы притяжения космического корабля к Земле и Луне уравновешивают друг друга? Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а расстояние между их центрами в 60 раз больше радиуса Земли. В качестве ответа напишите количество раз, в которое искомое расстояние больше радиуса Земли. Ответ округлите до целых.

Пусть (R) — радиус Земли, (M_З) — масса Земли, (M_Л) — масса Луны, (r) — расстояние от центра Земли до точки, где силы притяжения уравновешиваются.

По условию, (M_Л = \frac{M_З}{81}), а расстояние между центрами Земли и Луны равно (60R).

Тогда расстояние от центра Луны до точки равновесия будет (60R - r).

Сила притяжения между двумя телами описывается законом всемирного тяготения: $$F = G \frac{m_1 m_2}{R^2}$$, где (G) — гравитационная постоянная, (m_1) и (m_2) — массы тел, (R) — расстояние между ними.

Для точки, где силы притяжения уравновешиваются, выполняется равенство:

$$G \frac{m_{корабля} M_З}{r^2} = G \frac{m_{корабля} M_Л}{(60R - r)^2}$$

Сокращаем (G) и массу космического корабля:

$$\frac{M_З}{r^2} = \frac{M_Л}{(60R - r)^2}$$

Подставляем (M_Л = \frac{M_З}{81}):

$$\frac{M_З}{r^2} = \frac{M_З}{81(60R - r)^2}$$

Сокращаем (M_З):

$$\frac{1}{r^2} = \frac{1}{81(60R - r)^2}$$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$\frac{1}{r} = \frac{1}{9(60R - r)}$$

Упрощаем:

$$9(60R - r) = r$$ $$540R - 9r = r$$ $$540R = 10r$$ $$r = 54R$$

Таким образом, искомое расстояние равно 54 радиусам Земли.

Ответ: 54