На каком из рисунков изображено решение неравенства 81x² > 64? В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение:

Данное неравенство — \( 81x^2 > 64 \).

1. Разделим обе части на 81: \( x^2 > \frac{64}{81} \)
2. Извлечем квадратный корень из обеих частей, помня, что при извлечении корня из \( x^2 \) получается \( |x| \): \( |x| > \sqrt{\frac{64}{81}} \)
3. \( |x| > \frac{8}{9} \)
4. Раскроем модуль. Неравенство \( |x| > a \) равносильно совокупности двух неравенств: \( x > a \) или \( x < -a \).
5. Таким образом, мы получаем: \( x > \frac{8}{9} \) или \( x < -\frac{8}{9} \).

На числовой оси это выглядит так:

• Рисунок 2 изображает решение \( x > \frac{8}{9} \). Здесь точка \( \frac{8}{9} \) не включена (кружок), и штриховка идет вправо.
• Рисунок 4 изображает решение \( x < -\frac{8}{9} \) или \( x > \frac{8}{9} \). Здесь две области: одна до \( -\frac{8}{9} \) (кружок не включен, штриховка влево), другая после \( \frac{8}{9} \) (кружок не включен, штриховка вправо).

Нам нужно найти рисунок, где изображено только решение \( x > \frac{8}{9} \) или только \( x < -\frac{8}{9} \).

Если внимательно посмотреть на предложенные варианты, то:

• Рисунок 2 показывает \( x > \frac{8}{9} \).
• Рисунок 4 показывает \( x < -\frac{8}{9} \) И \( x > \frac{8}{9} \).

Неравенство \( 81x^2 > 64 \) решается как \( x > \frac{8}{9} \) или \( x < -\frac{8}{9} \).

Однако, согласно представленным рисункам, только рисунок 2 отображает одну из частей решения \( x > \frac{8}{9} \), а рисунок 4 отображает обе части решения \( x < -\frac{8}{9} \) И \( x > \frac{8}{9} \).

Если задача подразумевает выбор одного из вариантов, которые представляют отдельные части решения, то ни один из вариантов не показывает полное решение. Но если выбирать, какой рисунок ИЗОБРАЖАЕТ решение, то рисунок 4 корректно отображает обе части решения. В то же время, рисунок 2 отображает только одну часть решения.

Однако, в задании спрашивается, на каком из рисунков изображено решение. Рисунок 4 изображает полное решение неравенства \( 81x^2 > 64 \).

В контексте школьных заданий, часто такие рисунки подразумевают либо одну ветвь решения, либо полное решение. Учитывая, что вариант 4 включает обе ветви \( x < -\frac{8}{9} \) и \( x > \frac{8}{9} \), он является наиболее полным представлением решения.

Если бы предлагался вариант, где изображено \( x < -\frac{8}{9} \), то тогда было бы два рисунка, каждый из которых представляет часть решения. Но так как предложен только один вариант (4), который включает обе части, он является правильным.

Посмотрим на варианты ответов:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Рисунок 4 соответствует полному решению.

Проверка:

• Если \( x=1 \) (больше \( \frac{8}{9} \)), то \( 81 · 1^2 = 81 > 64 \) (верно).
• Если \( x=-1 \) (меньше \( -\frac{8}{9} \)), то \( 81 · (-1)^2 = 81 > 64 \) (верно).
• Если \( x=0 \) (между \( -\frac{8}{9} \) и \( \frac{8}{9} \)), то \( 81 · 0^2 = 0 \) (не больше 64) (неверно).

Рисунок 4 точно отображает данное решение.

Ответ: 4