На изображённом четырёхугольнике отмечены равные стороны. Известно, что CBD = 73°, ∠ADC = 142°. Найти угол АBD.

По условию задачи на изображенном четырехугольнике отмечены равные стороны, а также даны углы ∠CBD = 73° и ∠ADC = 142°.

Рассмотрим треугольник BCD. Так как BC = CD, то треугольник BCD является равнобедренным. Следовательно, углы при основании BD равны, то есть ∠CBD = ∠CDB = 73°.

Теперь найдем угол BCD. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит,

$$∠BCD = 180° - ∠CBD - ∠CDB = 180° - 73° - 73° = 34°$$

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Значит,

$$∠BAD = 360° - ∠ADC - ∠DCB - ∠CBA$$

Мы знаем, что ∠ADC = 142° и ∠DCB = 34°. Теперь нужно найти угол ∠CBA. Мы знаем, что ∠CBD = 73°.

Заметим, что ∠CBA = ∠CBD + ∠ABD. Обозначим ∠ABD = x. Тогда ∠CBA = 73° + x.

Подставим все известные значения в формулу для суммы углов четырехугольника:

$$∠BAD = 360° - 142° - 34° - (73° + x)$$ $$∠BAD = 360° - 142° - 34° - 73° - x = 111° - x$$

Так как AD = AB, то треугольник ABD - равнобедренный, и углы при основании AD равны. То есть ∠ADB = ∠ABD = x.

∠ADC = ∠ADB + ∠BDC

142° = х + 73°

х = 142° - 73° = 69°

Следовательно, ∠ABD = 69°.