На изображении несколько самостоятельных заданий по алгебраическим дробям, линейной функции и системам уравнений. Требуется предоставить решения всех видимых подпунктов.

Изображение обрезано в нижней части: полностью видны задания «Работа 8» и «Работа 9», а «Работа 10» видна только частично. Ниже приведены решения всех заданий, которые можно достоверно восстановить.

Работа 8. Алгебраические дроби

1. Допустимые значения букв:

1. \(\frac{3}{x}\): \(x\ne0\);
2. \(\frac{5+a}{a-3}\): \(a\ne3\);
3. \(\frac{7-c}{5c+1}\): \(c\ne-\frac15\);
4. \(\frac y5\): \(y\) — любое число;
5. \(\frac{b-1}{b^2+9}\): \(b\) — любое число, так как \(b^2+9>0\);
6. \(\frac{6x+1}{(x-4)(x+4)}\): \(x\ne4\), \(x\ne-4\);
7. \(\frac{7a-5}{(a-2)(a+11)}\): \(a\ne2\), \(a\ne-11\).

2. Сокращение дробей:

1. \(\frac{2a}{3a}=\frac23\), \(a\ne0\);
2. \(\frac{2b}{2c}=\frac bc\), \(c\ne0\);
3. \(\frac{ab}{ac}=\frac bc\), \(a\ne0\), \(c\ne0\);
4. \(\frac{abc}{ayc}=\frac by\), \(a\ne0\), \(c\ne0\), \(y\ne0\);
5. \(\frac{a^2-ab}{ac}=\frac{a(a-b)}{ac}=\frac{a-b}{c}\), \(a\ne0\), \(c\ne0\);
6. \(\frac{a^2-ab}{a^2+ab}=\frac{a(a-b)}{a(a+b)}=\frac{a-b}{a+b}\), \(a\ne0\), \(a+b\ne0\);
7. \(\frac{a^2-ab}{a^2-b^2}=\frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac a{a+b}\), \(a\ne\pm b\);
8. \(\frac{a^2+ab}{a^2-b^2}=\frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)}=\frac a{a-b}\), \(a\ne\pm b\);
9. \(\frac{x^2}{x^2-x}=\frac{x^2}{x(x-1)}=\frac x{x-1}\), \(x\ne0,1\);
10. \(\frac{x^2-1}{x^2-x}=\frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x}\), \(x\ne0,1\);
11. \(\frac{x^2}{x^2+x}=\frac{x^2}{x(x+1)}=\frac x{x+1}\), \(x\ne0,-1\);
12. \(\frac{x^2-1}{x^2+x}=\frac{(x-1)(x+1)}{x(x+1)}=\frac{x-1}{x}\), \(x\ne0,-1\);
13. \(\frac a{am}=\frac1m\), \(a\ne0\), \(m\ne0\);
14. \(\frac{a-3b}{a^2-9b^2}=\frac{a-3b}{(a-3b)(a+3b)}=\frac1{a+3b}\), \(a\ne\pm3b\);
15. \(\frac{pq}{q}=p\), \(q\ne0\);
16. \(\frac{m^2-4n^2}{m+2n}=\frac{(m-2n)(m+2n)}{m+2n}=m-2n\), \(m\ne-2n\);
17. \(\frac{a^2-2ab+b^2}{a-b}=\frac{(a-b)^2}{a-b}=a-b\), \(a\ne b\);
18. \(\frac{a^2+4ab+4b^2}{a+2b}=\frac{(a+2b)^2}{a+2b}=a+2b\), \(a\ne-2b\);
19. \(\frac{a^2-2ab+b^2}{a^2-b^2}=\frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{a-b}{a+b}\), \(a\ne\pm b\);
20. \(\frac{a^2+4ab+4b^2}{a^2-4b^2}=\frac{(a+2b)^2}{(a-2b)(a+2b)}=\frac{a+2b}{a-2b}\), \(a\ne\pm2b\);
21. \(\frac{2a(3a-b)}{2p-6a}=\frac{2a(3a-b)}{2(p-3a)}=\frac{a(3a-b)}{p-3a}\), \(p\ne3a\);
22. \(\frac{2a(3a-b)}{6a-2p}=\frac{2a(3a-b)}{2(3a-p)}=\frac{a(3a-b)}{3a-p}\), \(p\ne3a\);
23. \(\frac{a^2-9c^2}{3c+a}=\frac{(a-3c)(a+3c)}{a+3c}=a-3c\), \(a\ne-3c\);
24. \(\frac{a^2-9c^2}{3c-a}=\frac{(a-3c)(a+3c)}{-(a-3c)}=-(a+3c)\), \(a\ne3c\).

3. Вычислите:

1. \(\frac{37^2-23^2}{47^2-13^2}=\frac{(37-23)(37+23)}{(47-13)(47+13)}=\frac{14\cdot60}{34\cdot60}=\frac7{17}\);
2. \(\frac{45^2+2\cdot45\cdot13+13^2}{58}=\frac{(45+13)^2}{58}=\frac{58^2}{58}=58\).

Работа 9. Линейная функция и её график

1. Функции: \(y=4x\), \(y=1.5x\), \(y=\frac13x\), \(y=-3x\), \(y=-\frac43x\), \(y=-0.4x\). Все графики — прямые, проходящие через начало координат. Для построения достаточно взять начало координат и ещё одну точку:

• \(y=4x\): \((0;0)\), \((1;4)\);
• \(y=1.5x\): \((0;0)\), \((2;3)\);
• \(y=\frac13x\): \((0;0)\), \((3;1)\);
• \(y=-3x\): \((0;0)\), \((1;-3)\);
• \(y=-\frac43x\): \((0;0)\), \((3;-4)\);
• \(y=-0.4x\): \((0;0)\), \((5;-2)\).

2. Значения функций: для функции \(y=4x\): при \(x=1,2,-1.5,-1\) получаем соответственно \(y=4,8,-6,-4\). Нули функции: \(4x=0\Rightarrow x=0\); поэтому при значениях функции \(0,2,-2,-3\) аргумент равен соответственно \(0,0.5,-0.5,-0.75\).

3. Через начало координат проходят графики функций, не имеющих свободного члена: \(y=3x\), \(y=\frac3x\) не является линейной функцией и не является прямой, \(y=-\frac13x\). Поэтому искомые прямые: \(y=3x\) и \(y=-\frac13x\). Точки для построения: для \(y=3x\) — \((0;0)\), \((1;3)\); для \(y=-\frac13x\) — \((0;0)\), \((3;-1)\).

Работа 10

На изображении достоверно виден пункт 1:

1. \(x+y=5\Rightarrow y=5-x\);
2. \(x-y=0\Rightarrow y=x\);
3. \(y-x=-3\Rightarrow y=x-3\);
4. \(x-3y=-6\Rightarrow y=\frac{x+6}{3}=\frac x3+2\);
5. \(-2x+y=3\Rightarrow y=2x+3\);
6. \(x+5y=0\Rightarrow y=-\frac x5\);
7. \(2y-3x=0\Rightarrow y=\frac32x\);
8. \(5x+2y=-10\Rightarrow y=-\frac52x-5\);
9. \(-4x-7y=5.6\Rightarrow y=-\frac47x-0.8\).

Остальная часть работы 10 обрезана, поэтому её условия невозможно восстановить полностью.