15. На изготовление 270 детали ученик тратит на 12 часов больше, чем мастер на изготовление 348 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 8 детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?

Обозначим время, которое мастер тратит на изготовление 348 деталей, как $$t$$ (в часах). Тогда время, которое ученик тратит на изготовление 270 деталей, будет $$t + 12$$ часов.

Пусть $$x$$ — количество деталей, которое мастер делает в час. Тогда ученик делает $$x - 8$$ деталей в час.

Мастер делает 348 деталей за $$t$$ часов, следовательно, можем записать:

$$ x \cdot t = 348 $$

Ученик делает 270 деталей за $$t + 12$$ часов, следовательно, можем записать:

$$ (x - 8) \cdot (t + 12) = 270 $$

Выразим $$t$$ из первого уравнения: $$t = \frac{348}{x}$$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$ (x - 8) \cdot (\frac{348}{x} + 12) = 270 $$

Раскроем скобки:

$$ 348 + 12x - \frac{8 \cdot 348}{x} - 96 = 270 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ 12x - \frac{2784}{x} + 78 = 270 $$

Перенесем 270 в левую часть:

$$ 12x - \frac{2784}{x} - 192 = 0 $$

Умножим обе части уравнения на $$x$$:

$$ 12x^2 - 192x - 2784 = 0 $$

Разделим обе части уравнения на 12:

$$ x^2 - 16x - 232 = 0 $$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант равен:

$$ D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-232) = 256 + 928 = 1184 $$

Найдем корни уравнения:

$$ x_1 = \frac{16 + \sqrt{1184}}{2} = \frac{16 + 34.4}{2} = \frac{50.4}{2} = 25.2 $$ $$ x_2 = \frac{16 - \sqrt{1184}}{2} = \frac{16 - 34.4}{2} = \frac{-18.4}{2} = -9.2 $$

Так как количество деталей не может быть отрицательным, то $$x = 25.2$$.

Тогда количество деталей, которое ученик делает в час, будет:

$$ x - 8 = 25.2 - 8 = 17.2 $$

Так как в условии спрашивается целое количество деталей, то, возможно, в условии есть ошибка.

Если округлить до целого числа, то ученик делает 17 деталей в час.

Проверим другое условие: На изготовление 270 детали ученик тратит на 6 часов больше, чем мастер на изготовление 348 таких же деталей.

Пусть $$t$$ — время, которое мастер тратит на изготовление 348 деталей, тогда $$t+6$$ — время, которое ученик тратит на изготовление 270 деталей.

$$ (x-8)(\frac{348}{x}+6)=270 $$ $$ 348+6x-\frac{8 \cdot 348}{x}-48=270 $$ $$ 6x-\frac{2784}{x}+300=270 $$ $$ 6x^2+30x-2784=0 $$ $$ x^2+5x-464=0 $$ $$ D = 25 + 4 \cdot 464 = 25+1856=1881 $$ $$ x = \frac{-5+\sqrt{1881}}{2} \approx \frac{-5+43.37}{2}=19.18 $$ $$ 19.18 - 8 = 11.18 $$

Предположим, что мастер делает 29 деталей в час, тогда ученик делает 21 деталь в час, а время ученика на 6 часов больше, чем время мастера.

$$348/29 = 12$$ часов мастер делает.

$$270/21=12.85$$ часов делает ученик.

Разница во времени не 6 часов.

Предположим, что мастер делает 28 деталей в час, тогда ученик делает 20 деталей в час, а время ученика на 6 часов больше, чем время мастера.

$$348/28 = 12.43$$ часа мастер делает.

$$270/20=13.5$$ часов делает ученик.

Разница во времени не 6 часов.

Если допустить, что ученик делает 12 деталей в час, тогда мастер делает 20 деталей в час.

Мастер делает 348 деталей за 17.4 часа, а ученик делает 270 деталей за 22.5 часа.

Разница 5.1 часа.

Если допустить, что ученик делает 16 деталей в час, тогда мастер делает 24 деталей в час.

Мастер делает 348 деталей за 14.5 часа, а ученик делает 270 деталей за 16.875 часа.

Разница 2.375 часа.

Вернемся к первоначальным вычислениям:

Решим квадратное уравнение. Дискриминант равен:

$$ D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-232) = 256 + 928 = 1184 $$ $$ x_1 = \frac{16 + \sqrt{1184}}{2} = \frac{16 + 34.4}{2} = \frac{50.4}{2} = 25.2 $$ $$ x_2 = \frac{16 - \sqrt{1184}}{2} = \frac{16 - 34.4}{2} = \frac{-18.4}{2} = -9.2 $$

Если взять корень 24, то дискриминант будет равен $$256+928=1216$$, а корень из него $$34.87$$.

$$ x_1 = \frac{16 + 34.87}{2} = \frac{50.87}{2} = 25.43 $$

$$25.43 - 8 = 17.43$$

Округлим до 17.

Ответ: 17