15. На изготовление 270 детали ученик тратит на 12 часов больше, чем мастер на изготовление 348 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 8 детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?

Решим задачу:

Пусть x - количество деталей, которое мастер делает за час.

Тогда x - 8 - количество деталей, которое ученик делает за час.

Время, затраченное мастером на изготовление 348 деталей, равно $$348/x$$

Время, затраченное учеником на изготовление 270 деталей, равно $$270/(x - 8)$$.

Из условия задачи известно, что ученик тратит на 12 часов больше, чем мастер. Поэтому можно составить уравнение:

$$\frac{270}{x-8} - \frac{348}{x} = 12$$

Решим уравнение:

$$\frac{270x - 348(x - 8)}{x(x - 8)} = 12$$ $$270x - 348x + 2784 = 12x^2 - 96x$$ $$12x^2 - 96x + 78x - 2784 = 0$$ $$12x^2 - 18x - 2784 = 0$$

Разделим обе части уравнения на 6:

$$2x^2 - 3x - 464 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-464) = 9 + 3712 = 3721$$

Вычислим корни:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{3721}}{4} = \frac{3 + 61}{4} = \frac{64}{4} = 16$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{3721}}{4} = \frac{3 - 61}{4} = \frac{-58}{4} = -14.5$$

Так как количество деталей не может быть отрицательным, то подходит только корень $$x_1 = 16$$.

Тогда, количество деталей, которое ученик делает за час:

$$x - 8 = 16 - 8 = 8$$

Ответ: 8