На изготовление 540 деталей первый рабочий затрачивает на 12 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 600 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Логика такая:

Пусть x деталей в час делает первый рабочий, тогда второй рабочий делает (x - 10) деталей в час.

Время, которое тратит первый рабочий на изготовление 540 деталей: \(\frac{540}{x}\) часов.

Время, которое тратит второй рабочий на изготовление 600 деталей: \(\frac{600}{x-10}\) часов.

Из условия задачи известно, что первый рабочий тратит на 12 часов меньше, чем второй. Составим уравнение:

\[\frac{600}{x-10} - \frac{540}{x} = 12\]

Приведём дроби к общему знаменателю и упростим уравнение:

\[\frac{600x - 540(x-10)}{x(x-10)} = 12\] \[\frac{600x - 540x + 5400}{x^2 - 10x} = 12\] \[\frac{60x + 5400}{x^2 - 10x} = 12\]

Умножим обе части уравнения на знаменатель:

\[60x + 5400 = 12(x^2 - 10x)\] \[60x + 5400 = 12x^2 - 120x\]

Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[12x^2 - 180x - 5400 = 0\]

Разделим обе части уравнения на 12 для упрощения:

\[x^2 - 15x - 450 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

Дискриминант:

\[D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-450) = 225 + 1800 = 2025\]

Квадратный корень из дискриминанта:

\[\sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45\]

Корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-(-15) + 45}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 45}{2} = \frac{60}{2} = 30\] \[x_2 = \frac{-(-15) - 45}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 45}{2} = \frac{-30}{2} = -15\]

Так как количество деталей не может быть отрицательным, то выбираем положительный корень:

\[x = 30\]

Значит, первый рабочий делает 30 деталей в час.

Ответ: 30

Проверка за 10 секунд: Подставь найденное значение в исходное уравнение. Убедись, что разница во времени составляет 12 часов.

Доп. профит: База: Такие задачи часто встречаются в промышленности при планировании производства и оптимизации работы персонала.