На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC во внешнюю от него сторону построили квадрат ABDE (рис. 39). Известно, что угол ECA равен 30°. Найдите катет AC, если отрезок CE равен 6.

Так как квадрат построен на гипотенузе \(AB\), то \(AB=BE\), а угол \(ABE\) равен \(90^\circ\). Следовательно, треугольник \(BCE\) прямоугольный.

В треугольнике \(ECA\) угол \(ECA=30^\circ\), а \(CE=6\). Поэтому горизонтальная составляющая отрезка \(CE\) равна \(CE\cos 30^\circ\):

\[AC=CE\cos 30^\circ=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3.\]

Ответ: \(3\sqrt3\).